二等分線

二等分線（にとうぶんせん）

二等分線（にとうぶんせん）とは、平面上で扱われる幾何学の概念で、特定の対象を二つの等しい部分に分割する直線を指します。この「対象」としては、主に「線分」と「角」が考えられます。二等分線は、図形の性質を理解したり、特定の図形を作図したりする上で非常に基本的な要素となります。

線分の二等分線

一つの線分が与えられたとき、その線分を二等分する直線は、必ずその線分の中点を通ります。線分の中点を通りさえすれば、どのような方向の直線でも線分を二等分すると言えます。しかし、特に重要な意味を持つのが垂直二等分線です。

垂直二等分線は、線分を二等分する直線の中でも、特にその線分と垂直に交わる直線を指します。定義としては、「ある線分の中点を通り、かつその線分に垂直な直線」となります。

垂直二等分線は、その特徴として、「垂直二等分線上のどのような点を取っても、その点から元の線分の両端点までの距離が等しい」という性質を持っています。この性質のため、垂直二等分線は特定の点を求める作図や、領域を分ける際に利用されます。例えば、複数の基準点に対する領域分けを行うボロノイ図では、隣接する基準点の間の境界線の一部が、その二点を結ぶ線分の垂直二等分線となります。

垂直二等分線の作図は、古くから定規とコンパスを用いて行うことができます。(図1)

1. まず、二等分したい線分の両端点をそれぞれ中心とします。
2. 次に、線分の長さの半分より長い任意の同じ半径を持つ円弧を、両端点を中心として描きます。
3. この二つの円弧は、線分を挟んで二箇所で交わります。
4. この二つの交点を直線で結びます。

この手順で描かれた直線が、元の線分の垂直二等分線になります。これは、二つの円弧の交点と線分の両端点を結んでできる二つの三角形が、三辺が等しい（SSS合同）ことから合同となり、その結果として交点を結んだ直線が線分を垂直に二等分することが証明できます。

幾何学の定理の中にも二等分の概念が現れるものがあります。例えば、ブラーマグプタの定理では、円に内接する四角形の対角線が直角に交わる場合、対角線の交点から四角形の一辺に下ろした垂線が、その辺の対辺を二等分することが示されています。

角の二等分線

一方、角の二等分線とは、一つの角を、その頂点を通り、全く同じ角度を持つ二つの角に分割する半直線（頂点を始点とする直線の一部）を指します。一つの角に対して、その角の二等分線はただ一つだけ存在します。

角の二等分線もまた、重要な特徴を持っています。それは、「角の二等分線上の任意の点から、その角を構成する二つの直線（辺）までの距離が等しい」という性質です。この性質は、特定の条件を満たす点の軌跡（点の集まり）を考える際に利用されます。

角の二等分線の作図も、定規とコンパスを用いて行うことができます。(図2)

1. まず、二等分したい角の頂点を中心として、任意の半径を持つ円弧を描き、角を構成する二つの直線と交わる二点を見つけます。
2. 次に、この二つの交点をそれぞれ中心として、同じ半径（交点間の距離の半分より長いことが望ましい）を持つ円弧を描きます。
3. この二つの円弧は、角の内側で一点で交わります。
4. 最後に、元の角の頂点と、今見つけた円弧の交点を直線で結びます。

この直線が、元の角の二等分線となります。この作図法は、先述の線分の垂直二等分線の作図と類似しており、合同な三角形を利用して正当性が証明されます。

二等分線は、三角形の五心（内心、外心など）を求める際にも重要な役割を果たしたり、様々な定理の証明に用いられたりと、平面幾何学における非常に基礎的かつ応用範囲の広い概念です。

関連項目

定規とコンパスによる作図
南極定理
三角形
垂直
* 角の二等分線の定理

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