定規とコンパスによる作図

定規とコンパスによる作図

定規とコンパスによる作図とは、定規とコンパスのみを有限回用いて図形を描くことを指します。ここでいう定規は、2点を通る直線を引く道具であり、長さを測る機能は持ちません。コンパスは、与えられた中心と半径の円を描く道具としてのみ使用されます。

定規とコンパスの制約

この文脈における「定規」と「コンパス」は、現実の道具とは異なり、以下のような制約があります。

コンパス: 任意の半径を持つ円を描くことが可能で、既に作図された2点間の距離を測り取ることができます。ただし、目盛りはなく、軸は作図済みの点に固定され、線を引く用途には使用できません。
定規: いくらでも長く直線を引くことができますが、目盛りは無く、一度に一本の線しか引けません。既知の2点を結ぶか、直線を延長する用途にのみ使用できます。

これらの制約のもと、目測や近似による作図は認められず、正確な作図のみが求められます。また、目盛り付き定規や分度器などの他の道具は一切使用できません。

作図可能な操作

定規とコンパスによる作図で可能な操作は以下の通りです。

1. 既知の2点を通る直線を引く。
2. 既知の点を中心とし、他の既知の点を通る円を描く。
3. 互いに平行でない既知の2直線の交点を求める。
4. 既知の円と直線の交点を求める（最大2つ）。
5. 既知の2つの円の交点を求める（最大2つ）。

これらの操作を有限回繰り返すことで、必要な点や長さを得ることができれば、その作図は可能となります。例えば、2つの点が与えられれば、直線と2つの円を描き、それらの交点から正三角形を作図できます。

作図可能数

作図可能性は、代数的な構造と密接に関わっています。平面上に原点O(0,0)と点P(1,0)を与え、定規とコンパスで点Q(q, r)を作図できるとき、座標(q, r)は特定の二次拡大の塔によって表現できる必要があります。

具体的には、ある体の列 \( K_0 \subset K_1 \subset ... \subset K_n \) が存在し、 \( [K_{j+1} : K_j] = 2 \) （各拡大が2次拡大）であり、\( q, r \in K_n \) である必要があります。

作図は、円の方程式と直線の方程式を解くことに帰着され、これらは高々二次方程式となります。したがって、作図可能な点の座標は、二次方程式を繰り返し解くことで得られる数である必要があります。

作図不可能な問題

古代ギリシアの三大作図問題として知られる以下の3つは、定規とコンパスのみでは作図不可能であることが証明されています。

1. 円積問題: 与えられた円と等しい面積を持つ正方形を作図すること。
2. 立方体倍積問題: 与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作図すること。
3. 角の三等分問題: 与えられた角を三等分すること。

これらの問題が作図不可能である理由は、これらの作図に必要な数が、2次拡大の塔では表現できない代数的数や、超越数であるためです。例えば、立方体倍積問題は、2の3乗根を求めることに相当し、角の三等分は三次方程式を解く必要が生じます。また、円積問題は、円周率πが超越数であることから作図不可能と結論付けられました。

作図可能な正多角形

正多角形の中で、定規とコンパスで作図可能なものは限られています。古代ギリシアでは正三角形、正方形、正五角形が作図可能であることが知られていました。ガウスは正十七角形が作図可能であることを発見し、一般に、正n角形が作図可能であるための必要十分条件は、\( n \) が2の冪と相異なるフェルマー素数の積であることを見出しました。

例えば、3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48 などが作図可能な正多角形の頂点の数です。

道具の変更による作図可能性

定規とコンパス以外の道具を用いると、作図可能な図形が広がることが知られています。例えば、コンパスのみでの作図は、定規とコンパスで作図できるものと同等ですが、定規のみでは平方根を得ることができません。しかし、一つの円とその中心が与えられていれば、定規だけでも同等の作図ができます。

目盛り付き定規を使用すると、より多くの作図が可能になります。目盛り付き定規を用いた作図は、「ネウシス」と呼ばれ、三次方程式や四次方程式の解を求めることが可能になります。これにより、角の三等分や立方体倍積が可能となり、正七角形や正九角形などが作図できるようになります。さらに、折り紙を利用すると、三次方程式や四次方程式を解くことができ、一部の作図不可能問題が解決できるようになります。

まとめ

定規とコンパスによる作図は、幾何学的な問題でありながら、代数学的な構造と深く結びついています。作図可能性の制限は、代数的な数の範囲によって決定され、不可能とされた問題は、数学的な進歩を促す原動力となりました。そして、道具の変更や新たな発想によって、作図可能性の範囲はさらに広がっています。作図問題は、数学的な思考を深め、その奥深さを理解する上で、非常に重要な役割を果たしていると言えるでしょう。

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