二重三角十二・十二面体

二重三角十二・十二面体：正十二面体の複雑な変容

二重三角十二・十二面体とは、一見複雑な形状を持つ立体ですが、その基底には正十二面体という馴染み深い図形があります。正十二面体の各辺を内側に切り込み、深くえぐりとることで、星型五角形と正五角形が組み合わさった独特の多面体が生まれます。まるで正十二面体が、より複雑で奥行きのある姿へと変貌を遂げたかのようです。

この立体の構成要素は、12枚の星型五角形と12枚の正五角形、合計24枚の面から成り立っています。辺の数は60本、頂点数は20個です。各頂点には、星型五角形と正五角形がそれぞれ3枚ずつ集まっており、規則正しい構造が見て取れます。この頂点の形状を記述する頂点形状は(5, 5/3)3と表され、この記号は立体の幾何学的性質を端的に示しています。

数学的には、二重三角十二・十二面体は準正多面体として分類されます。準正多面体とは、正多面体ほど厳密な条件を満たしていないものの、規則正しい構造を持つ多面体の総称です。この立体は、非凸な多面体も含む場合に準正多面体とみなされます。なお、「二重三角十二面体」という名称も存在しますが、これは誤りであるとされています。

二重三角十二・十二面体の性質を理解する上で重要なのが、そのワイソフ記号「3 | 5 5/3」です。この記号は、立体の対称性や構成要素の配置関係を簡潔に表現するもので、専門家にとってはこの立体を識別する重要な手がかりとなります。さらに、この立体の枠は正十二面体であり、正十二面体と密接な関係にあることがわかります。

この立体の双対多面体は、Medial triambic icosahedronと呼ばれます。外観は正二十面体の星型の一種であるDe2f2に似ています。双対多面体とは、元の多面体の各面の中心を頂点として、新たな多面体を構成したものです。二重三角十二・十二面体とその双対多面体はお互いに密接な関係にあり、それぞれの幾何学的性質を理解する上で重要な関係を示しています。

外接球半径は、一辺の長さを2とすると√3となります。この値は、立体の大きさや形状を決定する上で重要なパラメータです。

二重三角十二・十二面体は、正十二面体、大星型十二面体、小二重三角二十・十二面体、大二重三角二十・十二面体など、いくつかの他の多面体と同じ枠を持つという共通点があります。これらの多面体は、それぞれ異なる形状をしながらも、幾何学的な繋がりを持つ興味深い立体です。また、5個の正六面体、5個の正四面体、10個の正四面体による複合多面体との関連性も指摘されています。

このように、二重三角十二・十二面体は、一見複雑に見える形状の中に、正十二面体との密接な関係や、他の多面体との繋がり、そして規則正しい構造といった様々な数学的・幾何学的性質を秘めています。その複雑さ故に、数学や幾何学の分野において、研究の対象として、そして美しい幾何学模様として、重要な位置を占めているのです。

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