多面体

多面体の世界へようこそ

多面体とは、4つ以上の平面で構成される立体図形です。それぞれの平面は多角形であり、これらが辺を共有することで複雑で美しい形状を創り出します。円柱や球体のような曲面を持つ図形は多面体には含まれません。多面体の定義を満たすためには、すべての面が平面で、境界が直線で構成されている必要があります。

多面体は、2次元図形である多角形を3次元空間へと拡張した概念と捉えることもできます。多角形が平面上の辺と頂点によって定義されるように、多面体は空間内の面、辺、頂点によって定義されます。

多面体の種類：多様な形状の分類

多面体は、その形状や性質によって様々な種類に分類されます。代表的な分類方法とそれぞれの特性を以下に示します。

1. 凸多面体:
すべての二面角が180度未満である多面体です。直感的には、多面体の内部に凹みがない形状と言えるでしょう。凸多面体には、以下の様な重要な種類があります。

正多面体 (プラトンの立体): すべての面が合同な正多角形で、すべての頂点形状も合同な正多角形である多面体。正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類のみが存在します。
半正多面体 (アルキメデスの立体): すべての面が正多角形で、すべての頂点形状が合同である凸多面体で、正多面体以外のもの。切頂正四面体、切頂正八面体などが含まれます。
カタランの立体: 全ての面が合同で、二面角が等しい多面体で、正多面体以外。半正多面体の双対多面体です。
デルタ多面体: すべての面が正三角形である凸多面体。
角柱: 2つの平行な底面と四角形の側面からなる多面体。
反角柱: 2つの平行な底面と三角形の側面からなる多面体。
ジョンソンの立体: すべての面が正多角形である凸多面体で、正多面体、半正多面体、角柱、反角柱以外のもの。
角錐: 1つの底面と三角形の側面からなる多面体。
双角錐: 2つの角錐を底面で張り合わせた多面体。
ねじれ双角錐: 双角錐をねじった形状。
角錐柱: 角錐と角柱を底面で張り合わせた多面体。
角台塔: 平行な2つの底面と四角形と三角形の側面からなる多面体。
ゾーン多面体: 向かい合った辺が平行な多面体。
等面菱形多面体: すべての面が合同な菱形である多面体。
平行多面体: 空間充填可能なゾーン多面体。

2. 凹多面体:
少なくとも一つの二面角が180度以上である多面体です。内部に凹みのある形状をしています。

星型多面体: 面や頂点形状に星型多角形を含む多面体。
星型正多面体 (ケプラー・ポアンソの立体): 全ての面が合同な正多角形（星型多角形を含む）で、全ての頂点形状が合同な正多角形（星型多角形を含む）である多面体で、凸正多面体以外。
複合多面体: 同一形状の多面体を複数個重ね合わせた立体。
複合体: 複数の多面体を体積の一部が共有するようにして重ねた立体。
一様多面体: 全ての面が正多角形'>[多角形]で、全ての頂点形状が合同な多面体。凸多面体と非凸多面体を含む。
穿孔多面体: 貫通した孔のある多面体。
単側多面体: メビウスの帯やクラインの壺のように表裏の区別のつかない多面体。

開いた多面体
多面体の定義を緩めることで、空間を切り取らない有限面体である開いた多面体も考えることができます。

開多面体: 空間を切り取らない有限面体
ねじれ正多面体: 全ての面が合同な正多角形で、ジグザグの頂点形状を持ち空間を二分する無限の面をもつ多面体

オイラーの多面体定理

穴の開いていない多面体（球面に同相な多面体）では、頂点の数 (v)、辺の数 (e)、面の数 (f) の間に以下の関係式が成り立ちます。

v - e + f = 2

これはオイラーの多面体定理として知られています。この定理は、グラフ理論においても重要な役割を果たしています。貫通した孔を持つ多面体（穿孔多面体）では、オイラー・ポアンカレの多面体公式が適用されます。

多面体の作図と関連概念

多面体の作図には、双対多面体（各面の中心を結ぶことで得られる多面体）や星型多面体（各面を広げることで得られる多面体）といった概念が用いられます。

多面体は数学、幾何学、そして芸術においても重要な役割を果たしており、その研究は今もなお続けられています。

もう一度検索