二重否定の除去

二重否定の除去と導入

論理学、特に命題論理において、二重否定の除去と導入は、推論の基本的な形式です。これらは、論理式における否定記号の重ねがさね、すなわち「二重否定」の扱いに関する規則を定めます。

二重否定の導入

二重否定の導入とは、ある命題に対して、その命題が偽であることの否定、すなわち「～ではない」を二回繰り返す操作です。例えば、「雨が降っている」という命題に対し、「雨が降っていないのではない」と推論するのが、二重否定の導入です。形式的には、命題Aから￢￢Aを導く推論となります。

二重否定の除去

一方、二重否定の除去とは、二重否定された命題から、元の命題を導く操作です。先の例で言えば、「雨が降っていないのではない」という命題から「雨が降っている」と推論するのが二重否定の除去です。形式的には、￢￢AからAを導く推論となります。

古典論理における妥当性

古典論理においては、二重否定の除去と導入はどちらも妥当な推論として扱われます。これは、古典論理においては、ある命題が真でないことは、その否定が真であることと等しいという考え方に基づきます。そのため、二重否定された命題は、元の命題と論理的に等価であるとみなされます。

直観主義論理における差異

しかし、直観主義論理では、二重否定の除去が必ずしも妥当とは限りません。直観主義論理では、命題が真であるためには、その命題を実際に証明する必要があると考えます。したがって、「雨が降っていないのではない」という命題は、「雨が降っている」ことを証明する必要があるわけではなく、「雨が降っている」という命題が矛盾なく成立すると示すだけでよい、と解釈されます。

この違いは、特に数学的な証明において重要になります。古典論理では二重否定の除去を自由に使うことができるため、背理法などの間接的な証明方法が利用できますが、直観主義論理では、これらの証明方法に制限が加わることになります。

自然演繹による表現

二重否定の除去と導入は、自然演繹という形式を用いて、以下のように表現することができます。

二重否定の除去

¬¬A
--
A

二重否定の導入

A
--
¬¬A

シークエントによる表現

また、シークエントの記法を用いると、二重否定の除去と導入は以下のように表現できます。

二重否定の除去

`¬¬A ⊢ A`

二重否定の導入

`A ⊢ ¬¬A`

論理式としての表現

これらの推論規則に演繹定理を適用すると、以下の論理式が得られます。

`⊢ ¬¬A → A`

`⊢ A → ¬¬A`

これらは、さらに以下の1つの論理式にまとめることができます。

`⊢ ¬¬A ↔ A`

この式は、二重否定された命題とその元の命題が論理的に同値であることを示しています。

その他の論理体系と集合論

二重否定の除去と導入は、古典論理や命題論理以外にも、様々な論理体系や数学の分野で応用されています。例えば、素朴集合論では、集合 A の補集合の補集合 (AC)C は、集合 A と等価であるという性質を持っています。これは、二重否定の除去と導入が集合論においても同様の役割を果たしていることを示しています。

まとめ

二重否定の除去と導入は、論理学における基本的な概念であり、古典論理と直観主義論理などの異なる論理体系の間で異なる性質を持ちます。これらの概念を理解することは、論理的な推論や証明を行う上で非常に重要です。

参考文献

論理学の教科書や参考書

関連項目

否定
* 二重否定 (言語学)

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