二項価格評価モデル

二項価格評価モデルとは

二項価格評価モデル（Binomial Pricing Model）は、金融工学において、オプションなどの金融商品の価格を評価するためのモデルの一つです。特に、無裁定条件を利用して、離散的な期間におけるオプション価格を決定する方法として知られています。

モデルの概要

二項価格評価モデルは、原資産価格が一定期間後に上昇するか下落するかの2つの状態のみを取りうると仮定します。この単純化されたモデルを用いることで、複雑なオプションの価格を比較的容易に計算できます。このモデルは、格子モデルの一種であり、時間の経過とともに価格が変動する様子を樹形図のように表現します。

ブラック・ショールズモデルとの関係

二項価格評価モデルは、特定の条件下で、より複雑なブラック・ショールズ方程式に近づくことが知られています。具体的には、以下の条件を満たす場合に、二項モデルはブラック・ショールズモデルと等価になります。

連続期間で考える
配当がない
ヨーロピアンオプションを評価する
期間の長さを0に近づける

オプション価格の計算

二項価格評価モデルを用いたオプション価格の計算は、以下の手順で行われます。

1. 二項一期間モデルの構築: まず、満期までの期間が1期間のみのオプションの価値を計算します。この際、原資産価格が上昇した場合と下落した場合のオプション価値をそれぞれ求めます。
2. リスク中立確率の計算: 同値マルチンゲール測度（リスク中立確率）を用いて、原資産価格が上昇または下落する確率を計算します。
3. 逆向きの反復計算: 満期日から現在に向かって、樹形図を逆向きにたどりながら、各時点でのオプション価値を計算します。この際、リスク中立確率を用いて、将来のオプション価値を現在価値に割り引きます。

二項一期間モデルの詳細

二項一期間モデルでは、以下の要素を考慮してオプション価格を計算します。

原資産価格: 現在の原資産価格（S0）と、1期間後の価格（上昇した場合：Su、下落した場合：Sd）
コールオプション: 行使価格（K）、存続期間（1期間）
安全債券: 金利（r）

これらの要素を用いて、原資産と安全債券を組み合わせた複製ポートフォリオを作成します。このポートフォリオは、コールオプションのペイオフを完全に再現するように構築されます。

複製ポートフォリオの構築

複製ポートフォリオは、原資産をφ単位、安全債券をψ単位で保有することで構成されます。このポートフォリオの価値は、原資産価格が上昇した場合と下落した場合のそれぞれで、コールオプションのペイオフと一致するように調整されます。

上昇した場合の価値：φSu + ψ(1+r) = max(Su - K, 0)
下落した場合の価値：φSd + ψ(1+r) = max(Sd - K, 0)

上記の連立方程式を解くことで、φとψの値を求めることができます。φが正の値であれば、原資産を購入し、ψが負の値であれば、安全債券を売却することを意味します。

コールオプションの価値

コールオプションの価値（C0）は、複製ポートフォリオの現在価値と等しくなります。

C0 = φS0 + ψ

まとめ

二項価格評価モデルは、オプション価格を評価するための強力なツールであり、金融工学において広く利用されています。モデルの背後にある考え方を理解することで、より複雑な金融商品の価格評価にも応用することができます。

参考文献
Hull, John C. Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson Education.

関連項目
金融工学
ブラック・ショールズ方程式
* 確率微分方程式

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