格子モデル

格子モデルとは

金融における格子モデルは、オプションの公正価値を評価するために用いられる手法の一つです。このモデルは、現在からオプションの満期までの期間を、N個の離散的な期間に分割します。各時点において、モデルは複数の結果の可能性を考慮し、それぞれの可能性は「枝」として表現されます。このプロセスを繰り返すことで、取りうるすべての経路が評価されます。

各経路に対する確率を評価し、これらの結果と確率を樹形図を逆方向にたどるように繰り返すことで、オプションの現在における公正価値を算出します。

二項価格評価モデル

格子モデルの最も単純な例が、二項価格評価モデルです。これは、二分木を用いてアメリカン・プット・オプションの公正価値を評価するものです。

モデルの仮定

原資産は、配当率qが既知の株式である。
現在の株価はS0、ボラティリティはσ、行使価格はK、無リスク金利はrとする。
オプションの満期までの期間Tを、長さδtのN = T /δt個の期間に分割する。
時点 i δt での j 番目の格子点 (i , j) （0 ≤j ≤i ≤N ） におけるオプション価格を fi , j とする。

パラメータの定義

以下のパラメータを定義します。

株価上昇率: `u = exp(σ sqrt(δt))`
株価下落率: `d = exp(-σ sqrt(δt))`
リスク中立確率: `p = (exp((r-q)δt) - d) / (u - d)`

オプション価格の計算

満期時点におけるオプション価格は、以下のように計算されます。

`fN,j = max(K - S0 uj dN-j, 0) (j = 0, 1, ..., N)`

満期日以前のオプション価格は、以下の式で帰納的に計算されます。

`fi,j = max(K - S0 uj di-j, exp((w-r)δt) {p fi+1,j+1 + (1-p) fi+1,j})`

ここで、i = N から 1 ずつ減らし、遡って fi, j が求められます。

各種オプションへの適用

株価指数オプション: qを株式ポートフォリオの配当率に置き換えます。
通貨オプション: qを外国通貨の無リスク金利に置き換えます。
先物オプション: qを自国通貨の無リスク金利（＝r） に置き換えます。

まとめ

格子モデル、特に二項価格評価モデルは、オプション価格を評価するための強力なツールです。その柔軟性から、様々な種類のオプションに対応できます。しかし、モデルの精度は、期間の分割数Nに依存することに注意が必要です。Nを大きくすると計算量が増加しますが、より正確な評価が可能になります。

参考文献

二項モデル - コトバンク

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