二項検定

二項検定とは

二項検定（にこうけんてい、英：binomial test）は、データが2つの異なるカテゴリに分類される場合に、そのカテゴリの比率が理論的に期待される分布から有意に偏っているかを評価するための統計的手法です。この検定は、確率を直接計算する方法の一つであり、特に小さなサンプルサイズでも使用できる正確な確率検定として位置づけられています。

使用方法

二項検定では、ある事象の成功確率を示す仮説（帰無仮説）を検定します。具体的には、成功確率を
π
{ootnotesize {π}} とした場合、次のようになります。

H₀: π = π₀

ここで、
π₀ は検定者が設定した成功確率の理論的な期待値です。この検定では、実際の成功回数を
k
のように標本サイズ
n
に対して、二項分布の公式を用いて成功確率を計算します。

$$
Pr(X = k) = {n race k} p^k (1 - p)^{n - k}
$$

成功回数が帰無仮説で期待される成功数に対し、実際の結果がどのくらいの確率で発生するかを評価します。具体的には、観測された成功回数
k
に対し、どの程度の非偶然性を持つ結果であるか判断します。
また、片側検定では次のような計算を行います。

$$
p = ∑_{i=0}^{k} Pr(X = i)
$$

このようにして、特定の事象の成功確率が期待値 よりも小さい（または大きい）かどうかを検定します。

両側検定の場合

両側検定の場合は、片側の確率を2倍にするだけではなく、観測された結果に相当する極端な事象が得られる確率を考慮に入れる必要があります。そのため、次のように、条件を設定し、観測結果に基づく確率を計算します。

$$
p = ∑_{i ∈ I} Pr(X = i)
$$

ここで、
Iは観測された事象と同等またはそれ以上に起こる確率をまとめたものであり、この場合はもっと複雑な計算が必要となります。

典型的な使用例

二項検定は、特に成功確率が同じであるという帰無仮説であるときに効果的です。たとえば、コイン投げやサイコロ転がしなど、2つの結果の発生確率が均等であることを想定して行います。ただし、カテゴリが3つ以上の場合には、多項分布を用いた多項検定を実施する必要があります。

標本サイズが大きい場合

標本サイズが大きくなった場合、二項分布は近似的に連続分布として扱われるため、カイ二乗検定などの他の手法も使われます。しかし、小規模なサンプルの場合、二項検定がより適切です。標本サイズが大きい場合、正規分布を利用して、以下のZ検定が行われることがあります。

$$
Z = rac{k - nπ}{ ext{√}(nπ(1 - π))}
$$

連続性補正が適用されることもあります。

二項検定の具体例

例えば、あるボードゲームではサイコロを235回振って6の目が51回出たとしましょう。この場合、サイコロが公平であれば、期待される6の目の出現回数は39.17回です。ここで二項検定を適用して、6の目が出る確率が有意に高いかどうかを検討します。この検定の結果、p値が0.02654となり、5%の有意水準で帰無仮説を棄却する根拠が得られます。これにより、サイコロが公平でないと結論が導かれます。

このように、二項検定は特に小規模なデータセットにおいて、帰無仮説の妥当性を評価する強力な手法です。

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