五胞体

五胞体（ごほうたい）

五胞体（英: 5-cell）とは、幾何学において4次元空間に存在する図形の一種です。これは4次元における最も単純な多胞体であり、「4次元単体」とも呼ばれます。五胞体は、5つの「胞」（cell）と呼ばれる3次元図形、具体的には5つの四面体によって囲まれた、4次元空間内の閉じた領域を指します。

基本的な性質

五胞体を構成する5つの胞は、全て3次元の四面体です。五胞体の境界をなす2次元の構成要素である面は、全て三角形で構成されています。また、1次元の構成要素である辺は、線分です。4次元空間に存在する多胞体の中で、五胞体は頂点、辺、面、胞といった各次元の構成要素の数が最も少ない図形であり、この点で最も基本的な単体と言えます。その構造を理解するための助けとして考えられる3次元への「展開図」は、一つの四面体の各面に、さらに別の四面体を合計4つ貼り付けて連結させたような立体として想像することができます。

トポロジー

五胞体の持つ興味深い性質の一つに、その幾何学的な構造（トポロジー）がただ一種類しか存在しないという点があります。4次元における他の多くの多胞体（例えば六胞体など）は、異なる接続関係や配置を持つ複数の種類が存在し得ますが、五胞体に関してはどのような五胞体であっても、頂点、辺、面、胞といった要素同士がどのように接し、連結しているかの関係性は常に同じです。この性質は「全ての五胞体は互いに同相である」と表現されます。

構成要素の数

五胞体に含まれる各次元の構成要素の数は、具体的に以下のように定まっています。

頂点（0次元の要素）の数：5つ
辺（1次元の要素）の数：10本
面（2次元の要素）の数：10枚
胞（3次元の要素）の数：5つ

これらの数は、数学におけるパスカルの三角形の特定の段に現れる数と関連が見られます。

要素周りの構造

五胞体における各要素の周りに集まる、より高次元または低次元の要素の数は、その図形の構造を特徴づけています。

頂点形状: 一つの頂点の周りには、4本の辺、6枚の面、そして4つの胞が集まります。この配置は、ちょうど3次元の四面体における一つの頂点の構造（1頂点に3辺、3面が集まる）を4次元に拡張したものと考えることができ、頂点形状は四面体であると表現されます。
辺形状: 一つの辺の周りには、3枚の面と3つの胞が集まります。この構造は、3次元の三角形における一つの頂点に集まる要素数（1頂点に2辺が集まる）と似ており、辺形状は三角形であると表現されます。
* 面形状: 一つの面の周りには、2つの胞が集まります。これは、3次元の線分における端点に集まる要素（線分の両端にある点）の数（1線分に2つの端点がある）に対応しており、面形状は線分であると表現されます。

正五胞体

五胞体の中でも特に全ての胞が合同な正四面体で構成されているものを「正五胞体」と呼びます。これは、4次元空間に存在する正多胞体（3次元空間における正多面体、いわゆるプラトンの立体に対応するもの）の一種であり、特に「4次元の正単体」として知られています。正五胞体は、その構成要素（頂点、辺、面、胞）が全て合同で、要素周りの構造も均一であり、非常に高い対称性を持っています。これは4次元における最も単純な正多胞体です。

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