多胞体

四次元超多面体（多胞体）とは

初等幾何学における四次元超多面体、または多胞体とは、四次元空間における多面体の概念を拡張したものです。多胞体は、連結かつ閉じた図形であり、頂点、辺、多角形の面、そして多面体である胞といった、より低次元の要素から構成されます。重要な特徴として、各面はちょうど二つの胞によって共有される点が挙げられます。

多胞体という用語は、複数の胞から構成される図形を指す意味でも用いられますが、任意の超多面体を指す「polytope」の訳語としても使われるため注意が必要です。この記事では、混乱を避けるため、特に断りがない限り四次元超多面体の意味で「多胞体」という用語を使用します。

多胞体は、二次元の多角形や三次元の多面体と対応する概念であり、位相的には一様ハニカムと密接な関係を持ちます。例えば、三次元空間を埋め尽くす立方体ハニカムは、三次元の立方体が無限の正方形平面を埋め尽くす関係と類似しています。また、凸多胞体は「切ったり開いたり」することで、三次元の展開図を作成できます。

定義

多胞体は、四次元の閉じた図形であり、頂点、辺、面、そして胞（三次元の多面体に相当）から構成されます。多面体の各辺がちょうど二つの面で共有されるように、多胞体の各面はちょうど二つの胞で共有されます。多胞体の要素全体を分割して、それぞれが多胞体となる複数の部分集合に分けることはできません。したがって、多胞体は素であり、合成的なものではありません。

最もよく知られた多胞体の一つは、テッセラクトとも呼ばれる正八胞体です。これは立方体の四次元版であり、多胞体の基本的な例として挙げられます。

図示法

多胞体は四次元空間に存在する図形であるため、三次元空間内では直接見ることができません。しかし、いくつかの方法を用いて、その構造を三次元空間内で視覚的に推察することが可能です。

直交射影

直交射影は、多胞体の様々な対称性を示すのに役立ちます。この方法では、頂点と辺のグラフを二次元に表現し、立体の面を三次元の射影被覆として示すことができます。

投影図

三次元の図形を二次元の紙に投影するのと同様に、四次元の図形を三次元（あるいは二次元）に投影できます。シュレーゲル図は、三次元球面上の点から三次元空間への立体射影を利用した一般的な投影方法であり、辺、面、胞が三次元空間内に描かれます。

断面図

多面体を曲面による切断断面で調べるように、多胞体を三次元の「超曲面」で切断した断面からその形状を把握できます。この断面を連続的に変化させることで、全体の形状を理解できます。また、余剰の空間次元を時間変化として扱い、断面の滑らかなアニメーションを作成することも可能です。

展開図

多面体の展開図がすべての多角形面を辺で繋げた状態で同じ平面上に描かれるように、多胞体のすべての多面体胞を、面で繋げた状態で同じ三次元空間上に描くことで、多胞体の展開図を得ることができます。

位相的特徴付け

多胞体の位相的な性質は、ベッチ数とねじれ係数によって決定されます。多面体の特徴付けに用いられるオイラー標数は、四次元を含む偶数次元では意味を成しません。これは、任意の多胞体において、その値が0になるためです。そのため、より洗練されたベッチ数が必要とされました。同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トロイダル多胞体のねじれ面を特徴づけるためには不十分であり、ねじれ係数が導入されました。

多胞体の種類

多胞体には、様々な種類が存在します。以下に主な種類を説明します。

正多胞体

正多胞体は、三次元における正多面体に対応するもので、以下の条件を満たします。

すべての胞が一種類の正多面体で構成されている。
一つの頂点に集まる正多面体の数が等しい（すべての頂点が合同）。

正多胞体は、シュレーフリ記号{p, q, r}で表され、pは構成面の形、qは一つの頂点に集まる面の数、rは一つの辺に集まる胞の数を表します。四次元の正多胞体は、6種類存在します。

正五胞体: {3,3,3} (自己双対)
正八胞体: {4,3,3} (正十六胞体と双対)
正十六胞体: {3,3,4} (正八胞体と双対)
正二十四胞体: {3,4,3} (自己双対)
正百二十胞体: {5,3,3} (正六百胞体と双対)
正六百胞体: {3,3,5} (正百二十胞体と双対)

半正多胞体

半正多胞体は、以下の条件を満たす多胞体です。

すべての胞が数種類の正多面体または半正多面体で構成されている。
すべての頂点が合同である。

四次元の半正多胞体は58種類存在し、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがあります。特殊な例として、捩れ二十四胞体と大反角柱があります。

星型正多胞体

星型正多胞体は、三次元の星型正多面体に対応するもので、シュレーフリ・ヘスの多胞体とも呼ばれます。四次元には10種類の星型正多胞体が存在します。

一様多胞体

一様多胞体は、三次元の一様多面体に対応する概念であり、四次元には現在1849種類が確認されています。

準正多胞体

準正多胞体は、一様多胞体の一種であり、辺の形状が合同な立体のことです。四次元には凸な準正多胞体が5種類存在します。

角柱・双角柱

三次元図形を四次元方向に平行移動することで、角柱の四次元版が得られます。また、双角柱は、2種類の角柱が四次元空間で絡み合ったような形状をしており、n角柱とm角柱からなる双角柱は(n-m)角柱と表記されます。

双対

四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものを指します。

多胞体公式

オイラーの多面体定理の拡張として、シュレーフリの多胞体公式が成立します。


V - E + F - C = 0


ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数、Cは胞の数を表します。この公式は、偶数次元においてオイラー標数が0になることを示しています。

関連項目

正四次元超多面体（正多胞体）
三次元球面 (glome)
* 双円柱

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