交換関係 (量子力学)

量子力学における交換関係

量子力学の中で、ある物理量を表す演算子は特有の関係を満たすことがあります。これを交換関係と呼び、演算子間の関係性を明示するものです。次に、この交換関係の定義や性質、特に正準交換関係と反交換関係について詳しく見ていきます。

交換子の定義

二つの演算子 $
\hat{A}$ と $
\hat{B}$ の間の交換関係は、次のように定義されます。

$$
\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \equiv [\hat{A}, \hat{B}].
$$

この式において、$
[\hat{A}, \hat{B}]$ を交換子と呼びます。演算子 $
\hat{A}$ と $
\hat{B}$ が共にエルミートであれば、交換子もまた歪エルミートです。

量子力学では、演算子の掛け算の順序が結果に影響を及ぼす場合が多く、$
[\hat{A}, \hat{B}]$ がゼロでないとき、演算子は非可換であると言います。逆に、$
[\hat{A}, \hat{B}] = 0$ のとき、両演算子は可換であるとされます。実際、可換であることは同時固有状態の存在と等価です。

性質

交換関係が満たす性質には以下のようなものがあります。

1. 自己交換性: $
[\hat{A}, \hat{A}] = 0$。
2. 交代性: $
[\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}]$。
3. 線形性: $
[\hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{A}, \hat{C}]$。
4. ライプニッツ則: $
[\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] \hat{C} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]$。
5. ヤコビの恒等式: $$[[\hat{A}, \hat{B}], \hat{C}] + [[\hat{B}, \hat{C}], \hat{A}] + [[\hat{C}, \hat{A}], \hat{B}] = 0$$。

これらの性質は、量子力学の様々な理論や実験が基づいています。

正準交換関係

交換関係の中でも特に重要なのが正準交換関係です。これは量子力学における座標 $
\hat{q}_j$ と運動量 $
\hat{p}_k$ に関連する交換関係で、次のように表現されます。

$$
[\hat{q}_j, \hat{p}_k] = i\hbar \delta_{jk}.
$$

ここで、$
\hbar$ はプランク定数です。この関係は古典力学ではゼロとなりますが、量子力学では重要です。

反交換関係

一方、反交換関係は異なる定義を持ちます。演算子 $
\hat{A}$ と $
\hat{B}$ に対して次のように書かれます。

$$
\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \equiv \{\hat{A}, \hat{B}\}.
$$

反交換子は主にフェルミ粒子の理論において使われ、正準反交換関係と呼ばれることもあります。これにより、量子系をより率直に記述できます。

ポアソンの括弧式

古典的な解析力学では、正準座標と運動量の関数に対してポアソンの括弧式が定義され、以下のように成り立ちます。

$$
\{A,B\} \equiv \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}.
$$

このように、量子力学における交換関係は古典力学でのポアソンの括弧式に相当し、両者は密接な関係があります。

まとめ

量子力学における交換関係は、演算子の間に存在する重要な性質を示し、物理現象を理解する上で基盤となる概念です。これにより、物理量の相関や量子の振る舞いが数学的に記述され、深い理解を得ることが可能となります。

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