代数学の基本定理

代数学の基本定理

代数学の基本定理は、数学、特に代数学において極めて重要な定理です。この定理は、1次以上の任意の複素係数多項式が、複素数の範囲内に少なくとも1つの根（解）を持つことを主張しています。

定理の主張

より正確に述べると、n次（n≧1）の複素係数多項式

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$ ($a_n
e 0$)

は、複素数の範囲内に重複度を含めてちょうどn個の根を持つ、ということです。つまり、この多項式はn個の一次式の積に因数分解できることを意味します。

定理の意義

この定理は、一見すると単純な主張ですが、その影響は計り知れません。

複素数の重要性: 実数係数の多項式でも、解が実数とは限らないことを示し、複素数の重要性を浮き彫りにしています。虚数単位iの導入は、代数学に革命をもたらし、複素数体は代数方程式の解を求める上で完備な体系であることを示しています。
多項式の因数分解: 任意の複素係数多項式は、一次式の積に分解できることを保証します。これは、多項式をより簡単な要素に分解し、解析することを可能にするため、代数学における様々な問題解決に役立ちます。
* 体論との関係: 代数学の基本定理は、体論という代数学の高度な分野とも深く関わっています。複素数体は「代数的閉体」であるという重要な性質を示しています。代数的閉体とは、その体上で定義された任意の多項式がその体の中に根を持つ体のことです。

歴史

代数学の基本定理は、17世紀初頭にアルベール・ジラールによってその存在が示唆され、その後、オイラー、ダランベール、ラグランジュなど多くの数学者によって証明が試みられました。しかし、これらの初期の証明には不備がありました。完全な証明は、1799年にカール・フリードリヒ・ガウスによって学位論文で初めて与えられました。ただし、ガウス自身も生涯に複数の異なる証明を与えており、そのどれもが完全に厳密であるとはいえず、後世の数学者によって洗練されてきました。現在では、複素解析や代数的位相幾何学など、様々な手法を用いた多くの証明が知られています。

証明

代数学の基本定理の証明には、いくつかの方法があります。最も初等的な証明は、多項式の絶対値の性質を利用した方法です。また、複素解析学を用いた証明も有名です。複素解析を用いた証明では、リウヴィルの定理やルーシェの定理などが用いられます。これらの証明は、大学レベルの数学の教科書で学ぶことができます。

例えば、複素解析を用いた証明の一つとして、リウヴィルの定理を使う方法があります。リウヴィルの定理とは、複素平面全体で正則（微分可能）かつ有界な関数は定数関数に限るという定理です。

仮にn次多項式f(z)が複素平面上で零点を持たないと仮定します。このとき、1/f(z) は複素平面全体で正則になります。さらに、|z|が十分大きいとき、|f(z)|は無限大に発散するので、1/f(z)は有界になります。リウヴィルの定理より、1/f(z) は定数関数となり、f(z) も定数関数となりますが、これはn次多項式という仮定に矛盾します。したがって、f(z) は必ず複素平面上に少なくとも1つの零点を持つことになります。

関連分野

代数学の基本定理は、代数学の様々な分野、例えば体論、ガロア理論、そして複素解析学など、広範囲にわたって重要な役割を果たしています。また、物理学や工学など、数学が応用される分野にも影響を与えています。

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