多項式

多項式：数学の基礎概念から高度な応用まで

数学における多項式は、数と不定元（変数）を用いて、和と積によって構成される式です。例えば、`3x³ - 7x² + 2x - 23` はxを不定元とする多項式です。不定元は複数持つことも可能です。本稿では、多項式の基本演算から、代数方程式、因数分解、多項式関数といった関連事項まで、幅広く解説します。高度な概念については、簡潔に概要を示すにとどめ、詳細な説明は各専門記事に譲ります。なお、一部の説明は、1変数多項式（不定元を1つだけ持つ多項式）に特有の内容です。

多項式の基本

1変数多項式

不定元xに関する1変数多項式は、`aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀`という形で表されます。ここで、nは非負整数、aₙ, aₙ₋₁, ..., a₀は数（係数）です。各`aₖxᵏ` (k = 0, ..., n) を項と呼び、aₖを係数と呼びます。a₀は定数項と呼ばれます。項の順番は変更できますし、係数が0の項は省略できます。

例えば、`3x³ - 7x² + 2x - 23` の項は`3x³`, `-7x²`, `2x`, `-23`で、`-7x²`の係数は-7、定数項は-23です。

唯一の項で表される多項式を単項式、数a₀を多項式とみなしたものを定数多項式と呼びます。定数多項式0を除く多項式は、次数nを持つ`aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀` (aₙ≠0)という形で表すことができ、このnを多項式の次数、多項式をn次多項式と呼びます。aₙxⁿは最高次の項と呼ばれます。定数多項式a₀の次数は、a₀=0の場合を除き0です。0の次数は定義しないか、-∞と定めることが多いです。

多項式の係数は様々な数の範囲から取ることができ、「実数を係数とする多項式」などという表現が用いられます。集合Kに属する数を係数とする多項式を「K上の多項式」とも呼びます。Kとしては体または可換環が選ばれることが多いです。

高々n次の多項式

高々n次の多項式は、次数がn以下の多項式です。n次多項式は、n次の係数aₙがaₙ≠0という制約がありますが、高々n次の多項式にはこの制約がありません。

多変数の多項式

不定元x, yに関する2変数多項式は、有限個の`axᵏyˡ`（k, lは非負整数、aは数）の和として表されます。例えば、`-2x³y² + x⁴ - 17xy² - 4`です。同様にして、任意の正整数mについてm変数多項式を定義できます。2変数以上の多項式を多変数の多項式と呼びます。

多項式の演算

加法・乗法・定数倍

同じ不定元を持つ2つの多項式f, gの和f+g、積fgは、形式的な和と積を整理して得られる多項式です。加法・乗法の交換法則と分配法則が成り立ちます。1変数の場合、和と積はそれぞれ以下のように表されます。

多項式fと数cに対し、fのc倍（定数倍またはスカラー倍）は、fの各項の係数をc倍して得られる多項式です。これらの演算は、多項式を多項式関数とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍に対応します。多項式の乗法は数列の畳み込みとみなすこともできます。

除法

体K上の1変数多項式f, g（g≠0）に対し、f = gQ + R（Rの次数はgの次数より小さい）を満たす多項式Q, Rを求める手続きを多項式の除法と呼びます。Qを商、Rを余り（剰余）と言います。余りが0のとき、fはgで割り切れると言います。

微分・積分

1変数多項式`f = Σₖ₌₀ᵐ aₖxᵏ`の微分は`f' = Σₖ₌₁ᵐ kaₖxᵏ⁻¹`で定義されます。f'をfの導多項式と呼びます。多変数多項式についても、各不定元に関する微分を考えられます。実数または複素数を係数とする多項式fについては、多項式関数として微分することもできますが、多項式としての微分は関数としての微分（多変数多項式の場合は偏微分）に対応します。多項式としての微分を形式的微分と呼ぶこともあります。

多項式に関連する概念

代数方程式

多項式の不定元に数を代入することを代入と言います。代数方程式は多項式を用いて表される方程式で、`f(x₁, ..., xₘ) = 0`の形をしています。その解を零点と言います。1変数多項式の零点を根と言います。数cがf(x)の根であることは、f(x)が1次式x-cで割り切れるための必要十分条件です（因数定理）。

因数分解

与えられた多項式fをいくつかの多項式の積として表すことを因数分解と言います。因数分解の結果として現れる多項式の係数を未知数とみなし、方程式を立てて解を探す方法があります。因数定理も重要な道具となります。

多項式関数

1変数多項式f(x)に対し、数cにf(c)を対応させることで多項式関数が得られます。多変数多項式についても同様です。n次多項式の定める多項式関数をn次関数と呼びます。しかし、多項式と多項式関数は異なる概念です。

多項式の高度な一般化

ここでは、行列多項式、冪級数、ローラン多項式、非可換多項式について簡単に触れます。これらは多項式の概念を様々な方向に拡張したものです。それぞれ、行列、無限級数、負の次数の項、非可換な変数といった要素を導入することで、多項式の枠組みを超えた解析を可能にします。これらの詳細な説明は、それぞれの専門分野の文献を参照ください。

まとめ

多項式は、数学の基礎から高度な理論まで、幅広く応用される重要な概念です。本稿では、その基本的な性質から高度な一般化までを概観しました。多項式の世界は奥深く、様々な分野にわたる発展を遂げています。より深い理解のためには、関連文献を参照することをお勧めします。

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