体のテンソル積

体論におけるテンソル積と合成体の構成

体論は数学の純粋数学の分野において、体という代数的な構造を扱う重要な理論です。この理論の一つの側面として、テンソル積と呼ばれる構成が存在します。テンソル積は、2つの体の間の構造を理解するための有力な手段です。また合成体、すなわち2つの体を合成することで得られる最小の体を構成する概念も含まれています。

テンソル積の意義

抽象代数学の分野において、直積の概念は存在しません。つまり、2つの体の直積は、環として見た場合には存在するものの、体として成り立つことはありえません。それに対して、体 K と L について、これらが大きな体 M の部分体である場合や、両者がより小さな体 N の拡大体であるときに、K と L を「併せる」必要が生じます。このような状況では、体のテンソル積が最適な解決策となります。

テンソル積は、環としての構造を持ち、時には体として成り立つこともあります。さらに、テンソル積には0でない冪零元が含まれる場合があることも特徴です。したがって、これを用いることで、体 K と L が持つ共通の性質や構造をより詳しく解析できるのです。

合成体の定義

体の合成という概念は、2つの体 K と L が与えられたときに、それらを含む最小の体 KL を構成することを目指します。合成を正確に定義するためには、初めに体の塔を示す必要があります。体 k があり、体 K と L が k の拡大として考えられるとき、これらの合成体は KL = k(K ∪ L) で定義されます。合成体を構成する際には、K と L の両者を含む大きな体の存在が必要であることを忘れてはなりません。

テンソル積と合成体の関係

多くの場合、合成体 KL は K と L の共通部分である体 N のベクトル空間としてのテンソル積として識別できます。例えば、有理数体 Q に対し √2 を加えた体 K と、√3 を加えた体 L の例を考えるとき、KL は Q 上のベクトル空間として K ⊗Q L に一致します。この関係を利用することで、体の間の線型無関係や構造に関する重要な結果を得ることができます。

環構造の設定

テンソル積を環構造として考慮することが重要です。標準的な加算とスカラー倍に加えて、乗算の定義が必要です。具体的には、要素間の乗算が以下のように定義されます：

$$
(a ⊗ b)(c ⊗ d) := ac ⊗ bd
$$

この定義により、テンソル積空間上に自然な環構造が導入され、K ⊗N L が体のテンソル積と呼ばれることになります。

園分体の理論

体論において重要な特性の一つは、ある体の共通の部分体を持たない場合、つまり標数が異なる場合には、それらのテンソル積は自明な環となることです。この特性は、体 R が N の有限拡大である際に特に単純になります。このときテンソル積は有限次元の N-代数となり、体の直積として扱えることが明らかになります。

例：合成体の具体的なアプローチ

例えば、Q の上の 2 の 3 乗根によって生成される体 K があるとします。このとき、テンソル積 K ⊗Q K は K と Q 上の次数 6 の X^3 - 2 の分解体の直積として識別できます。これは、テンソル積の次元を計算し、分解体が K の 2 つのコピーとその合成体を含むことを示すことによって確認できます。

結論

体論におけるテンソル積と合成体の構成は、体の間の関係性を理解する上で中心的な役割を果たしています。これらの概念を用いることで、数学のより深い理論に触れ、様々な数体間の複雑な構造を解析することが可能になります。

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