ベクトル空間

ベクトル空間詳解

導入

ベクトル空間とは、ベクトルと呼ばれる要素の集合と、それらの要素に対する加法とスカラー倍という二つの演算によって定義される数学的構造です。スカラーは、多くの場合実数ですが、複素数や有理数、あるいは一般の体の元であることもあります。これらの演算は、特定の公理を満たす必要があります。

ベクトル空間の概念は、解析幾何学、行列、線型方程式系、ベクトルの概念といった、17世紀の数学にまで遡る歴史を持ちます。現代的な抽象的な取り扱いは19世紀後半にペアノによって定式化され、数学のみならず科学や工学において広く応用されています。

平面上の有向線分と数の順序対：具体的な例

ベクトル空間の分かりやすい例として、平面上の固定された点を始点とする矢印（有向線分）の全体と、実数の順序対の全体が挙げられます。

平面上の有向線分では、二つの有向線分の和は平行四辺形の対角線で表され、スカラー倍は線分の長さを変える操作に対応します。

実数の順序対 (x, y) の場合、加法とスカラー倍は次のように定義されます。

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
a(x, y) = (ax, ay)

これらの例は、ベクトル空間の公理を満たします。

ベクトル空間の定義と公理

集合 V が体 F 上のベクトル空間であるとは、以下の公理を満たすときを言います。

1. 加法に関して、V はアーベル群を成す。（交換法則、結合法則、単位元（零ベクトル）、逆元の存在）
2. スカラー乗法は、体 F の元と V の元の積を V の元へ写像する演算で、以下の条件を満たす。
a(u + v) = au + av
(a + b)v = av + bv
(ab)v = a(bv)
1v = v
(a, b ∈ F, u, v ∈ V)

ベクトル空間の要素はベクトルと呼ばれ、体の元はスカラーと呼ばれます。

基底と次元

ベクトル空間の構造を明らかにする重要な概念として基底と次元があります。基底とは、ベクトル空間を張る線形独立なベクトルの集合です。ベクトル空間の次元は、基底の元の個数（濃度）で定義されます。有限次元ベクトル空間と無限次元ベクトル空間があります。

線型写像と行列

二つのベクトル空間の間の関係性を記述する概念として線型写像があります。線型写像は、ベクトル空間の加法とスカラー倍を保つ写像です。線型写像は行列を用いて表現することができます。行列は、線型写像の情報を行列の成分として記述したものです。

固有値と固有ベクトル

ベクトル空間 V から V への線型写像 f について、λv = f(v) を満たす零ベクトルでないベクトル v を f の固有値 λ に属する固有ベクトルと言います。固有値と固有ベクトルは、線型写像の性質を理解する上で重要です。

部分空間と商空間

ベクトル空間の部分集合で、加法とスカラー倍で閉じているものを部分空間といいます。部分空間もまたベクトル空間です。ベクトル空間から部分空間の情報を取り除いたものを商空間といいます。

直積と直和

複数のベクトル空間から新たなベクトル空間を構成する方法として、直積と直和があります。直積は全てのベクトルの組の集合であり、直和は有限個の例外を除いて零ベクトルである組の集合です。

テンソル積

テンソル積は、双線型写像を普遍的に受け入れるベクトル空間です。テンソル積は、多重線型代数において重要な概念です。

付加構造を備えたベクトル空間

ベクトル空間には、ノルムや内積などの付加構造を導入することができます。ノルム空間、内積空間、ヒルベルト空間などは、このような付加構造を持つベクトル空間の例です。

ノルム空間と内積空間

ノルムはベクトルの大きさを測る関数であり、内積はベクトルの間の角度を測る関数です。内積空間はノルムを誘導します。

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は完備な内積空間です。ヒルベルト空間は関数解析学において重要な役割を果たします。

バナッハ空間

バナッハ空間は完備なノルム空間です。バナッハ空間も関数解析学で重要な役割を果たします。

線型位相空間

線型位相空間は、ベクトル空間と位相構造を併せ持つ空間です。線型位相空間では、ベクトルの収束性などを考えることができます。

その他の応用

ベクトル空間は、微分幾何学、フーリエ変換、シュヴァルツ超関数、量子力学など、様々な分野に応用されています。

まとめ

ベクトル空間は線形代数学の基本的な概念であり、数学、科学、工学の様々な分野で重要な役割を果たしています。この記事では、ベクトル空間の定義、性質、応用、歴史などを概観しました。より深い理解のためには、線形代数学、関数解析学などの専門書を参照することをお勧めします。

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