係数行列

係数行列

はじめに

数学の一分野である線型代数学は、複数の未知数を含む線型方程式の集まり、すなわち線型方程式系を体系的に扱うための強力な道具を提供します。物理学、工学、経済学、コンピュータサイエンスなど、様々な分野で発生する複雑な問題を解析する際に、線型方程式系はしばしば基本的なモデルとして用いられます。これらの問題を効率的に理解し、解決するためには、行列やベクトルといった概念が不可欠となります。線型方程式系を行列の言葉で表現する際に中心的な役割を担うのが、「係数行列」と呼ばれる概念です。

係数行列とは

係数行列は、線型方程式系を構成する未知数の係数だけを抜き出し、規則的に配列して作られる行列です。具体的な線型方程式系を考えてみましょう。いま、$m$個の線型方程式と$n$個の未知数を含む系が与えられたとします。これは一般的に以下のような形で書き表すことができます。

$$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m $$

ここで、$x_1, x_2, \ldots, x_n$ は解を求めたい未知数、$a_{ij}$ は各未知数に掛けられている既知の定数（係数）、そして $b_i$ は方程式の右辺にある既知の定数項です。

この方程式系から、未知数に関する情報（$x_j$）と定数項の情報（$b_i$）を取り除き、係数 $a_{ij}$ のみを取り出して行列として整理したものが係数行列です。具体的には、$a_{ij}$ を第 $i$ 行、第 $j$ 列の成分とする $m \times n$ サイズの行列として定義されます。この行列を通常 $A$ で表します。

$$ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} $$

この行列 $A$ は、未知数ベクトル $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^T$ と定数項ベクトル $\mathbf{b} = [b_1, b_2, \ldots, b_m]^T$ を用いることで、元の線型方程式系を $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ という非常に簡潔で扱いやすい行列の形で表現することを可能にします。このコンパクトな表現は、理論的な解析や計算アルゴリズムの開発において非常に有用です。行列 $A$ のサイズ $m \times n$ は、それぞれ方程式の数と未知数の数を反映しています。

拡大係数行列

係数行列 $A$ に関連して、線型方程式系を扱う際にもう一つ重要な行列が 拡大係数行列 です。これは、係数行列 $A$ に、方程式の右辺の定数項を並べたベクトル $\mathbf{b}$ を、新たな列として右端に付け加えて得られる行列です。

$$ [A \mid \mathbf{b}] = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{bmatrix} $$

拡大係数行列のサイズは $m \times (n+1)$ となります。この行列は、元の線型方程式系に関するすべての情報（未知数の係数と定数項）を含んでいます。線型方程式系を具体的な数値計算によって解く場合、特にガウスの消去法やガウス・ジョルダン法を用いる際には、この拡大係数行列に対して「行基本変形」と呼ばれる操作を行うのが標準的な手法です。拡大係数行列を特定の形（例えば階段行列）に変形することで、方程式系の解が存在するかどうか、存在する場合に一意であるか多無限にあるかといった性質を判断したり、具体的な解を求めたりすることができます。

まとめ

係数行列および拡大係数行列は、線型方程式系を効率的に表現し、その性質を分析し、解を求めるための線型代数学における基本的なツールです。これらの行列形式に変換することで、複雑に見える連立方程式を、行列の理論に基づいた統一的な方法で扱うことが可能となり、様々な応用問題への道が開かれます。

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