線型方程式系

線型方程式系

数学において、線型方程式系とは、複数個の線型方程式（すなわち一次方程式）が同時に成り立つべき条件として与えられたものの集まりです。これらの式をすべて同時に満たす未知数の値の組を求めることが、線型方程式系を解く目的となります。しばしば連立一次方程式や連立線型方程式とも呼ばれます。

基本的な考え方

最も簡単な例として、2つの未知数 x, y を含む2つの線型方程式からなる系を考えましょう。

$${\begin{cases} x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \\ \end{cases}}$$

この例では、上と下の両方の式を同時に満たす x と y の値を探します。この場合、(x, y) = (1, 2) が解となります。なぜなら、x=1, y=2 を代入すると、上の式は 1 + 2(2) = 5 となり、下の式は 2(1) + 3(2) = 8 となり、どちらの等式も成立するからです。

一般に、与えられた線型方程式系に含まれるすべての方程式を同時に満たすような変数の値の組を、その線型方程式系の解と呼びます。そして、その解を見つけ出す過程を線型方程式系を解くと言います。

解の性質

線型方程式系において、解がいくつ存在するかは、方程式の数と未知数の数の関係によって大まかに予測できます。

未知数の数の方が多い場合: 原則として、解は一つに定まらず、いくつかの変数を自由に選べる余地（自由度）が生じます。解は無数に存在する（不定）ことが多いです。
未知数の数と方程式の数が一致する場合: 多くの場合、解は存在し、かつ一つに定まります（一意解）。ただし、方程式が互いに線型従属であったり、矛盾を含んでいたりする場合は、解が存在しない（不能）か、無数に存在する場合もあります。
方程式の数の方が多い場合: 制約条件が多すぎるため、多くの場合、すべての式を同時に満たす解は存在しません（不能）。

未知数の数が多い場合でも、いくつかの変数を固定して考えることで、未知数の数と方程式の数が一致する場合に帰着させて考えることも可能です。

主な解法（初等的な手法）

線型方程式系を解くための基本的な手法は、未知数の数を減らしていくという考えに基づいています。主に以下の方法があります。

代入法: いずれかの方程式を選び、一つの未知数について他の未知数を使った式で表します。次に、その式を他のすべての方程式の対応する未知数に代入することで、未知数を一つ消去し、方程式の数を減らします。この操作を繰り返すことで、未知数が一つの方程式に帰着させ、解を求めます。
等値法: 二つの方程式それぞれを同じ未知数について解き、得られた二つの式を等しいとおくことで、その未知数を消去します。これは代入法の一種とも考えられます。
加減法: 方程式の両辺に適切な定数を掛けたり、方程式同士を足したり引いたりすることで、特定の未知数の係数がゼロになるようにして、その未知数を消去します。この操作を繰り返して解を求めます。

これらの初等的な解法は、未知数の数が少ない場合に有効です。

行列による表現

n個の未知数とm本の方程式からなる一般的な線型方程式系は、行列とベクトルを用いて非常に簡潔に表現できます。未知数を成分とするベクトル $\mathbf{x}$、方程式の係数を並べた行列 $A$、右辺の定数を成分とするベクトル $\mathbf{b}$ を使うと、線型方程式系は次の形に書けます。

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

ここで、$A$を係数行列、$\mathbf{x}$を未知数ベクトルと呼びます。特に$\mathbf{b}$がすべての成分がゼロであるベクトル（零ベクトル）である場合、$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ となり、これを斉次線型方程式（または同次）と呼びます。$\mathbf{b}$が零ベクトルでない場合は非斉次線型方程式（または非同次）と呼びます。非斉次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が与えられたとき、$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ をその非斉次方程式に随伴する斉次方程式と言います。

解の構造と性質

行列 $A$ が定める線型写像を $f_A$ とすると、$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ を解くことは、$f_A(\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ となる$\mathbf{x}$を見つけることに相当します。

斉次方程式 ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$): 零ベクトル $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ は常に解となります（自明な解）。また、$\mathbf{x}_1$ と $\mathbf{x}_2$ が斉次方程式の解ならば、任意のスカラー $\alpha, \beta$ に対し $\alpha\mathbf{x}_1 + \beta\mathbf{x}_2$ も解となります。この性質から、斉次方程式の解全体の集合はベクトル空間をなし、これを解空間と呼びます。解空間の次元は、係数行列 $A$ の核の次元に等しく、これは『未知数の数』から『Aの階数（ランク）』を引いた値と一致します。解空間の次元が $k$ ならば、解は $k$ 個の基本的な解（基本解）の線型結合として表すことができます。
非斉次方程式 ($A\mathbf{x} = \mathbf{b}$): 解が存在するためには、ベクトル $\mathbf{b}$ が行列 $A$ の列ベクトルたちの線型結合で表せる必要があります（つまり$\mathbf{b}$が$A$の像に含まれる、または$A$のランクと$(A|\mathbf{b})$のランクが等しいことと同値です）。解が存在する場合、その解は一つとは限りません。非斉次方程式の任意の二つの解の差は、随伴する斉次方程式の解となります。したがって、非斉次方程式のすべての解は、その特殊解（任意の一つの解）に随伴する斉次方程式の一般解を加えることで得られます。

解が一意に定まるのは、随伴する斉次方程式の解が自明な解 $\mathbf{0}$ だけであり、かつ非斉次方程式の解が存在する場合です。これは、係数行列 $A$ が単射であること、あるいは（正方行列の場合は）$A$の行列式がゼロでないことと同値です。

行列を用いたより進んだ解法

未知数の数が多い大規模な線型方程式系や、コンピュータによる数値計算においては、行列の性質を利用した効率的な解法が用いられます。理論的には、係数行列 $A$ が正則（逆行列を持つ）ならば、解は $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ として求められますが、逆行列の計算は一般に計算コストが高いです。

より実用的な方法としては、以下のようなものがあります。

ガウスの消去法: 行列の基本変形を用いて、係数行列を階段行列（または簡約化階段行列）に変形し、後退代入によって解を求めます。
LU分解: 係数行列 $A$ を下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積に分解し、$L\mathbf{y} = \mathbf{b}$, $U\mathbf{x} = \mathbf{y}$ という二つのより簡単な線型方程式系を解く方法です。
特異値分解 (SVD): 行列の構造を詳しく分析し、解の存在や構造を調べるのに強力な手法です。最小二乗問題などにも応用されます。
共役勾配法: 特に大規模な疎行列（成分のほとんどがゼロの行列）に対して有効な反復解法の一つです。

実際には、問題の規模、係数行列の性質（疎密、対称性など）、必要な精度などを考慮して、最適な解法が選択されます。

応用分野

線型方程式系は、数学の様々な分野の基礎となるだけでなく、科学技術の多くの分野で応用されています。

信号処理
線型計画問題（最適化問題の一種）
線型近似（ニュートン法や有限要素法など、複雑な問題を線形化して解く手法）
物理学、工学、経済学などにおけるモデリング

このように、線型方程式系は理論的にも応用的にも非常に重要な概念です。

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