保型形式のL-函数

保型L関数について

保型L関数、またの名を自形L関数は、複素数変数sの関数L(s, π, r)から成り立っています。この関数は、大域体上の簡約群Gの保型表現πと、Gのラングランズ双対群LGに関連する有限次元複素表現に基づいています。保型L関数は、ディリクレ指標のディリクレ級数やモジュラ形式のメリン変換を一般化するものであり、1967年から1971年にかけてロバート・ラングランズによって提唱されました。1980年代には、アーマンド・ボレルやジェームス・アーサー、スティーブン・ゲルバートなどの研究者が保型L関数についての重要な調査を行っています。

特徴

保型L関数にはいくつかの特性が存在しますが、すべてが証明されているわけではなく、いくつかは未だに予想の段階に留まっています。その一つとして、関数L(s, π, r)は、局所体Fの素点vごとに定められる局所L関数の積として表されることが考えられます。具体的には、次のように表現されます。

$$L(s, π, r) = \prod L(s, π_v, r_v)$$

ここで、保型表現πは局所体F_v上の群の表現π_vのテンソル積を示します。次に、L関数は全複素数sに対して有理型関数として解析接続され、次の関数等式を満たすと予想されています。

$$L(s, π, r) = ε(s, π, r) L(1 - s, π, r^\vee)$$

この式におけるε(s, π, r)は、有限個のvを除き1となるような局所定数の積です。

$$ε(s, π, r) = \prod ε(s, π_v, r_v, φ_v)$$

一般線型群に関する構成

一般線型群における保型L関数については、1972年にロジェ・ゴデマンとエルヴェ・ジャケによって標準的な表現rに対する保型L関数が構成されています。彼らは、テイトの方法を一般化して解析接続と関数等式の証明に成功しました。ラングランズプログラムでは、GL(m)とGL(n)の表現のランキン・セルバーグ積から得られるランキン・セルバーグのL関数が多くの解析的性質を満たすことが予想されています。この関数等式は初めてラングランズ・シャヒーディの手法で証明されました。

ラングランズ函手性予想に従うと、連結な簡約群の保型L関数は一般線型群の保型L関数の積として表されると考えられています。この予想が正しければ、保型形式のL関数に関するさらなる解析的特性の理解が進むでしょう。

参考文献

1. Arthur, James; Gelbart, Stephen (1991), "Lectures on automorphic L-functions", London Math. Soc. Lecture Note Ser.
2. Borel, Armand (1979), "Automorphic L-functions", American Mathematical Society.
3. Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (2004), "Lectures on automorphic L-functions", American Mathematical Society.
4. Gelbart, Stephen; Piatetski-Shapiro, Ilya; Rallis, Stephen (1987), "Explicit constructions of automorphic L-functions", Springer-Verlag.
5. Godement, Roger; Jacquet, Hervé (1972), "Zeta functions of simple algebras", Springer-Verlag.
6. Jacquet, H.; Piatetski-Shapiro, I. I.; Shalika, J. A. (1983), "Rankin-Selberg Convolutions", Amer. J. Math.
7. Langlands, Robert (1967), "Letter to Prof. Weil".
8. Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Springer-Verlag.
9. Langlands, Robert P. (1971), "Euler products", Yale University Press.
10. Shahidi, F. (1981), "On certain 'L'-functions", Amer. J. Math.

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