簡約群

簡約群とは

簡約群（かんやくぐん、英: reductive group）は、代数閉体上で冪単根基が自明な代数群を指します。これは、数学で特に重要な概念で、幾何学や表現論において顕著な役割を果たします。簡約群の例としては、代数的トーラスや任意の半単純代数群である一般線形群が挙げられます。このような群は、さまざまな数学的構造や性質を持つ意味で特異です。

簡約群の定義は、一般の代数体上では異なり、代数閉包において冪単根基が自明となる滑らかなアフィン代数群が対象とされます。一般的に、代数閉体上の群が冪単根基が自明であるかどうかは、その構造に大きな影響を及ぼします。また、体が完全でない場合、例えば有限体上の関数体においては、代数閉包への移行が重要となります。

一方、体 k 上の代数群で、k-冪単根基が自明なものは「擬似簡約群」と呼ばれます。この名称は、簡約群とは異なる条件の下で定義されることを示します。また、これに関連して、簡約群という用語は、線形表現の完全可約性に由来しており、特に標数0の代数群の表現に対して成立する性質です。ただし、離散群としての有限次元表現は、標数0の場合でも必ずしも完全可約になるとは限りません。

Haboushの定理は、幾何学的簡約性と呼ばれるより緩い条件が正標数の場合の簡約群に適用できることを示しています。この定理により、ある種の構造を持つ群は簡約性を満たす可能性があることが示唆されます。

リー群における簡約群

リー群の場合、簡約リー群はリー代数を通じて定義されます。具体的には、簡約リー群 G は、そのリー代数 g が簡約リー代数、つまり可換リー代数と半単純リー代数の直和として定義されます。また、G の連結成分が有限であるという条件を追加することもあります。この場合、リー代数の簡約性はその随伴表現の完全可約性と同じ意味を持ちますが、一般の有限次元表現は必ずしも完全可約ではありません。

興味深い点として、リー群と代数群における簡約性の概念は必ずしも一貫しているわけではありません。例えば、一次元可換リー代数 R は明らかに簡約であり、そのリー代数は簡約代数群 Gm（ゼロでない実数の乗法群）と、簡約でない冪単代数群 Ga（実数の加法群）の双方と同型です。これらの群はリー群として同型ですが、代数群としての同型ではありません。

このような幾何学的および代数的対象における簡約群は、現代数学において非常に多くの興味深い問題を提起し、それらの研究が進行中です。例えば、Lunaのスライス定理や根データ、擬似簡約群といった関連項目は、簡約群の理解を深めるための重要な鍵となります。

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