保存系

保存系とは？

力学系において、保存系とは特定の量が時間変化しない系を指します。この変わらない量を「保存量」または「第一積分」と呼びます。保存系では、系の状態を表す変数が時間発展しても、保存量は常に一定の値を保ち続けます。これは、系の運動が持つ重要な性質を示しています。

保存量の詳細

保存量を数学的に定義すると、相空間上の実数値関数Vで、時間微分がゼロとなるものです。つまり、系の状態が時間変化しても、Vの値は変化しません。ここで、Vは相空間上の定数関数ではないという条件が付きます。これは、自明な保存量を除外するためです。定数関数は常に一定値をとるので、全ての系で保存量となり、意味がありません。

相空間とは、力学系の状態を表現する空間です。例えば、質点の運動であれば、位置と運動量を座標とする空間が相空間となります。保存量は、この相空間上で定義される関数であり、系の状態の変化に対して不変な量を表します。

保存系の例：力学的エネルギー保存則

自然科学では、多くの系で保存則が成り立ちます。代表的な例として、力学的エネルギー保存則があります。摩擦や空気抵抗などの非保存力が働かない系では、力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は保存量となります。この場合、力学的エネルギーは時間変化せず、一定の値を保ち続けます。したがって、力学的エネルギー保存則が成り立つ系は、保存系であると言えます。

保存則の重要性

保存則は、力学系の解析において非常に重要な役割を果たします。保存量の存在は、系の運動を制限し、解の性質を理解する上で大きな手がかりとなります。例えば、保存量を用いることで、系の状態の時間発展を簡単に予測したり、系の平衡状態を調べたりすることが可能になります。

ポアソン括弧との関係

ポアソン括弧は、力学系における保存量を見つける上で重要な数学的ツールです。ポアソン括弧は、二つの関数間の「交換関係」を表すもので、保存量はポアソン括弧がゼロとなる関数として定義できます。具体的には、保存量VとハミルトニアンH（系の全エネルギー）のポアソン括弧がゼロであれば、Vは保存量となります。この関係性は、保存量の探索や系の対称性の理解に役立ちます。

まとめ

保存系は、力学系において保存量が時間変化しない系です。保存量は系の重要な性質を示し、系の解析に役立ちます。力学的エネルギー保存則は保存系の代表例であり、ポアソン括弧は保存量を見つけるための重要なツールです。保存系の概念は、古典力学だけでなく、量子力学や統計力学など、様々な物理学の分野で重要な役割を果たしています。

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