倍積完全数

倍積完全数

倍積完全数（ばいせきかんぜんすう）とは、ある自然数の約数の総和が自身の整数倍となる数を指します。この数は英語で「multiply perfect number」とさまざまな呼び名があります。数理的には、約数関数 σ(n) を用いて σ(n) = kn（ここで k は自然数）を満たす自然数 n で定義されます。このため、倍積完全数は k倍完全数とも呼ばれます。

特に、k = 2 の場合は単に完全数として知られています。一方、k = 1の場合には、1のみがこの条件を満たす数として存在します。例えば、数120の約数の和を計算すると、以下のようになります。

σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120

この結果から、120は3倍完全数であることがわかります。多くの倍積完全数が知られており、次のような数がその例です：1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920 など。

倍積完全数の特徴として、素数 p が n を割り切らない場合、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることが成り立つことが挙げられます。たとえば、3倍完全数 m が2で割り切れるが4では割り切れない場合、すなわち m が単偶数の場合、m/2は奇数の完全数となりますが、このような奇数の完全数は未だ発見されていません。

k倍完全数のリスト

以下は、k=1 から k=11 までの倍積完全数のうち、現在発見されている最小の数です。記載されている情報源では、特に k=7 までの数は確認されていますが、k=8 以降については別のリソースに基づいています。

• - 2倍完全数：完全数を参照
• - 3倍完全数：120, 672, 523776, 459818240など
• - 4倍完全数：30240, 32760, 2178540, 23569920など
• - 5倍完全数：14182439040, 31998395520など
• - 6倍完全数：154345556085770649600など

2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が確認されており、数量は次の通りです。3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個発見されています。しかし、この先にもっと多くは存在しないとも言われています。

倍積完全数に関する性質

倍積完全数についての重要な性質の一つに、k倍完全数 n における約数の逆数の和が k に等しいというものがあります。この性質は、n の約数の和を Nと定義すると、次のように示されます。

N/n = k

たとえば、n = 6 の場合、逆数の和は以下のようになります。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 12/6 = 2

これにより、倍積完全数の性質が実証されます。他にも、倍積完全数の約数の和自身がまた別の倍積完全数になるケースも存在します。具体的には、16番目の倍積完全数 459818240 の約数の和は、17番目の倍積完全数 1379454720 となる特性があります。

参考文献

• - H.-J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255.
• - C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206.

このように、倍積完全数は自然数の中でも特に興味深い特性を持った数であり、数学の研究において多くの議論の対象となっています。

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