偏相関

偏相関とは？

偏相関（へんそうかん）とは、ある二つの変数の相関を評価する際に、それらの変数に影響を与える交絡因子（共通の原因）を排除することで得られる相関のことです。この手法を用いることで、誤解を招く結果を避け、真の関係を明らかにすることが可能です。

偏相関係数の範囲

偏相関係数は、ピアソンの積率相関係数と同様に、-1から1の範囲の値を取ります。

• - -1 の場合：完全な負の相関を示す。
• - 1 の場合：完全な正の相関を示す。
• - 0 の場合：線形関係がないことを示す。

定義と計算方法

n 個の制御変数 Z = {Z1, Z2, ..., Zn} がある場合、変数 X と Y の間の偏相関、記号は ρXY·Z で表されます。これは、Xを Z を用いて線形回帰した際の残差（eX）と、Yを Z で回帰した際の残差（eY）の相関を示します。

計算手順

偏相関係数を求めるためには、以下の手順を踏む必要があります：
1. X と Y のそれぞれに対して、Z を使って線形回帰を行う。
2. 得られた残差 eX と eY の相関を計算する。

この他にも、残差を用いる方法や逆行列を利用する計算式も存在します。例えば、逆行列を用いると次のように表されます：

\[ ρ_{X_i X_j ⋅ V ∖ {X_i, X_j}} = -{\frac {p_{ij}}{\sqrt {p_{ii}p_{jj}}}}. \]

偏相関の解釈

偏相関は、実際に観測されたデータの構造を理解するための重要なツールです。特に、他の変数の影響が考慮されることで、X と Y の間のより純粋な関係を明示化するのに適しています。このため、統計分析において偏相関を活用することは、データの解釈をより明確にし、意思決定をサポートすることに繋がります。

統計的テスト

偏相関の信頼性を評価する方法として、条件付き独立性テストがあります。フィッシャー変換を用いて、
\[ z(\hat {ρ}_{XY⋅ Z}) = \frac {1}{2} \ln \left(\frac {1 + \hat {ρ}_{XY⋅ Z}}{1 - \hat {ρ}_{XY⋅ Z}}\right). \] を使用して偏相関が有意であるかを確認します。

他の関連項目

偏相関は、線形回帰分析や多重相関といった他の統計手法とも密接に関連しています。これらの手法を組み合わせることで、より多角的なデータ分析が可能になります。行動科学、社会科学などの多様な分野で、偏相関を適用することが期待されます。

参考資料

偏相関に関する詳細な情報を得るために、数学の百科事典や専門書を参照することが推奨されます。特に、数学的な計算式や応用例について詳しく知りたい場合には、信頼のおけるリソースを利用してください。

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