偶関数と奇関数

偶関数と奇関数：関数の対称性を探る

数学において、偶関数と奇関数は、関数の重要な性質を表す概念です。これらは、変数の符号を反転させた際に、関数の値がどのように変化するかによって定義されます。この性質は、関数のグラフの対称性と密接に関連しており、解析学、特に冪級数やフーリエ級数の理論において重要な役割を果たします。

定義

偶関数とは、任意の実数xに対して、f(-x) = f(x)を満たす関数です。グラフはy軸に関して対称となります。

奇関数とは、任意の実数xに対して、f(-x) = -f(x)を満たす関数です。グラフは原点に関して対称となります。奇関数は、f(0)が定義されている場合、必ずf(0) = 0となります。

性質

偶関数と奇関数は、以下の重要な性質を持ちます。

グラフの対称性: 偶関数のグラフはy軸に対して対称、奇関数のグラフは原点に対して対称です。
和と積: 偶関数と奇関数の和は、一般的には偶関数でも奇関数でもありません。しかし、偶関数の線形結合は偶関数であり、奇関数の線形結合は奇関数です。2つの偶関数の積は偶関数、2つの奇関数の積は偶関数、偶関数と奇関数の積は奇関数となります。
微分: 微分可能な偶関数を微分すると奇関数になり、微分可能な奇関数を微分すると偶関数になります。
級数展開: 偶関数のテイラー級数は偶数次の項のみからなり、奇関数のテイラー級数は奇数次の項のみからなります。周期的な偶関数のフーリエ級数はcos項のみからなり、周期的な奇関数のフーリエ級数はsin項のみからなります。
* 偶奇分解: 任意の関数は、偶関数成分と奇関数成分の和として一意的に表すことができます。任意の関数f(x)に対して、偶関数成分feven(x)と奇関数成分fodd(x)は以下のように定義されます。

feven(x) = (f(x) + f(-x))/2
fodd(x) = (f(x) - f(-x))/2

このとき、f(x) = feven(x) + fodd(x)が成り立ちます。

具体例

偶関数: |x|, cos x, cosh x, x², x⁴, 1/x², 定数関数など

奇関数: sin x, tan x, sinh x, x, x³, x⁻¹, arcsin x, arctan x, arsinh x, 単射な奇関数の逆関数など

フーリエ級数とテイラー級数

偶関数と奇関数の概念は、フーリエ級数とテイラー級数の展開において重要な役割を果たします。周期関数をフーリエ級数に展開する場合、関数が偶関数であればcos項のみ、奇関数であればsin項のみが現れます。同様に、関数をテイラー級数に展開する場合、関数が偶関数であれば偶数次の項のみ、奇関数であれば奇数次の項のみが現れます。これらの性質は、級数の計算を簡略化し、関数の性質をより深く理解する上で役立ちます。

まとめ

偶関数と奇関数は、関数の対称性を記述する重要な概念です。その性質は、関数の解析や級数展開において広く利用され、数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。これらの概念を理解することは、数学のより深い理解につながります。

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