単射

単射（Injection）とは

数学において、単射とは、異なる要素が異なる要素に対応する写像のことを指します。これは「一対一写像」とも呼ばれますが、全単射（一対一対応）とは異なる概念です。

定義

集合Aを定義域、集合Bを終域とする写像 f : A → B において、以下の条件が満たされるとき、f は単射であると言います。

任意の x, y ∈ A に対して、x ≠ y ならば f(x) ≠ f(y) が成り立つ。

この条件は、対偶を取ると次のようにも表現できます。

任意の x, y ∈ A に対して、f(x) = f(y) ならば x = y が成り立つ。

この二つの表現は論理的に等価であり、単射であることを証明する際に、後者の表現がより使いやすい場合があります。前者の表現は「異なる要素は写像後も異なる」、後者の表現は「写像後の要素が等しいならば、写像前の要素も等しい」ことを意味しています。

例

1. 正の実数から実数への自乗関数: 正の実数 x に対して、その自乗 x² を対応させる写像 f: R+ → R は単射です。なぜなら、正の実数 x, y において x² = y² ならば、必ず x = y となるからです。

2. 実数から実数への自乗関数: しかし、この写像の定義域を実数全体Rに拡張すると、単射ではなくなります。例えば、x² = (-x)² が成り立ち、異なるxの値が同じ結果を持つからです。

3. 幾何学的な例: 曲線 γ: I → R² が単射であるとき、その曲線は自己交差を持たない「単純曲線」となります。自己交差を持つ曲線（例えば、デカルトの葉線）は単射ではありません。

4. 包含写像: 集合Aの部分集合Bがあるとき、Bの各要素をAの要素としてそのまま対応させる写像 B ↪ A; b ↦ b は単射です。これは「標準単射」または「自然な単射」とも呼ばれます。

5. 冪集合への写像: 集合 X からその冪集合 P(X) への写像 x ↦ {x} は単射です。これは、任意の集合の濃度がその冪集合の濃度を超えないことを証明する際に使われます。

埋め込み（Embedding）

代数的な構造を持つ集合A, B間の準同型f: A → B が単射である場合、f(A) は B の部分構造となります。さらに、f を A → f(A) に制限すると全単射になるため、逆写像が定義できます。この逆写像が準同型であれば、AはBの部分構造と同一視できます。この操作を「埋め込み」と呼びます。特に、群や環においては、単射準同型が存在することは埋め込みを考えることと同等です。

性質

単射の制限は単射ですが、単射の拡張は必ずしも単射ではありません。
2つの単射の合成は単射です。
合成写像 f ∘ g が単射であれば、g は単射です。
写像 f : A → B に対して r ∘ f = idA を満たす写像 r : B → A が存在するならば、f は単射です。
写像 f が単射であることは、f ∘ g = f ∘ h を満たす任意の写像 g, h: Z → X に対して、常に g = h が成り立つことで特徴づけられます。
写像 h : A → B が単射であるための必要十分条件は、任意の集合Qと写像 f: A → Q に対して、h と g を使って可換図式を満たす写像 g: B → Q が存在することです。
写像 f: X → Y が単射であるための必要十分条件は、X の任意の部分集合 A に対して、f⁻¹[f[A]] = A が成り立つことです。
有限集合X, Yに対して、Xの元の個数n,Yの元の個数mとすると、n ≤ m と、単射 f: X → Y が存在すること、そして、全射 g: Y → X が存在することは同値です。

関連概念

写像: 要素間の対応関係を記述する数学的な概念。
関数: 写像の一種で、特定の規則に従って要素を対応させるもの。
全射: 終域のすべての要素が、定義域の少なくとも一つの要素に対応する写像。
全単射: 単射かつ全射である写像（一対一対応）。

まとめ

単射は、数学において非常に重要な概念であり、集合論、代数学、幾何学など、様々な分野で用いられます。写像における要素の対応関係を理解する上で、単射の概念を理解することは不可欠です。

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