偏微分

多変数関数の偏微分：詳細解説

多変数関数の微分において、偏微分は重要な概念です。これは、複数の変数を持つ関数に対して、特定の変数のみを変化させて微分を行う操作です。他の変数は定数として扱われます。この操作によって得られる微分係数を偏微分係数、関数を偏導関数と呼びます。

偏微分の定義

まず、2変数関数 z = f(x, y) を考えましょう。y を定数 b と固定すると、z は x の関数 f(x, b) とみなせます。この関数の x = a における微分係数

$$\frac{df(x,b)}{dx}|_{x=a} = \lim_{Δx\to 0} \frac{f(a+Δx, b) - f(a, b)}{Δx}$$

が、点 (a, b) における x に関する偏微分係数です。この極限値を

$$\frac{\partial z}{\partial x}(a, b) = f_x(a, b)$$

と表記します。これは、点 (a, b) における z の x 方向の傾きを表します。

同様にして、x を定数 a と固定し、y に関する偏微分係数

$$\frac{\partial z}{\partial y}(a, b) = f_y(a, b)$$

を求めることができます。

n 変数関数 u = f(x₁, x₂, ..., xₙ) の場合も同様で、xᵢ に関する偏導関数は

$$\frac{\partial f}{\partial xᵢ} = \lim_{Δxᵢ\to 0} \frac{f(x₁, ..., xᵢ + Δxᵢ, ..., xₙ) - f(x₁, ..., xᵢ, ..., xₙ)}{Δxᵢ}$$

と定義されます。

高階偏導関数

偏導関数がさらに微分可能な場合、高階偏導関数を定義できます。例えば、2変数関数 f(x, y) について、二階偏導関数は fₓₓ, fₓᵧ, fᵧₓ, fᵧᵧ の4つです。ここで注意すべきは、fₓᵧ と fᵧₓ が一般には異なるということです。しかし、f が C²級（二階偏導関数が連続）であれば、ヤングの定理より fₓᵧ = fᵧₓ が成り立ちます。C²級でない関数の例として

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy(x² - y²)}{x² + y²}, & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

が挙げられ、この関数では fₓᵧ(0, 0) ≠ fᵧₓ(0, 0) となります。

偏微分の応用

偏微分は様々な分野で応用されます。

ベクトル解析: 勾配、発散、回転などの計算に用いられます。勾配は関数の各変数に関する偏微分からなるベクトルで、関数の増加が最も大きい方向を示します。
微分幾何学: 接空間や接ベクトルの定義に必要です。
偏微分方程式: 熱方程式や波動方程式など、多くの重要な方程式は偏微分を用いて記述されます。
最適化: 多変数関数の極値を求める際に、偏微分を用いた計算が必要となります。

偏積分

偏微分の逆演算として偏積分があります。例えば、∂z/∂x = 2x + y の場合、x に関する偏積分は

$$z = \int (2x + y) dx = x² + xy + g(y)$$

となります。ここで、g(y) は y の任意の関数であり、「積分定数」として働きます。これは、x に関する偏微分では y は定数として扱われるためです。

まとめ

偏微分は、多変数関数の解析に不可欠なツールです。その定義、計算方法、そして様々な応用を理解することで、より高度な数学の理解へと繋がります。 また、ヤングの定理や偏積分など、偏微分に関する重要な定理や概念についても理解を深めることが重要です。

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