共有知識

共有知識とは

共有知識（Common knowledge）は、特定の集団に属する全ての人が何かを知っており、さらにその「全員が知っている」という事実を全員が知っているという状態が、階層的に無限に続く特殊な知識の形態を指します。単純に「皆が知っている」という状態とは異なり、その知識自体が「皆に知られている」ということが皆に知られている、といった入れ子構造が果てしなく続くことが特徴です。

この概念は、1969年に哲学者のデイヴィド・ルイスが著書『Convention』で初めて提唱しました。その後、数学的な厳密な定式化は、1976年にノーベル賞受賞者であるロバート・オーマンによって集合論の枠組みを用いて行われました。1980年代には、計算機科学の分野でも認識論理、特に共有知識の問題への関心が高まりました。また、この概念に基づいた思考実験やパズルはジョン・コンウェイなどの数学者によって広く研究されています。

青い目の島民パズル

共有知識の概念を理解するために、しばしば「青い目の島民パズル」と呼ばれる思考実験が用いられます。このパズルは、ある島に住む人々の中に、青い目の人がk人（kは1以上）いて、残りは緑の目をしているという設定です。島民は他人の目の色を見ることはできますが、自分の目の色を知る手段はありません。自分の目が青いと知った島民は、その翌朝、島を出て行かなければなりません。全員が完全な論理思考の持ち主であるとします。

ある日、島によそ者がやってきて、島民全員の前で「あなた方の中に少なくとも一人、青い目の者がいます」とアナウンスします。このよそ者は常に正直であり、そのことが島民全員の共有知識であるとします。すると、「少なくとも一人青い目の者がいる」という事実が、島民全員の共有知識となります。

このアナウンスの後に何が起こるでしょうか？驚くべきことに、k日目の朝になると、青い目の島民全員が島を出て行くことになります。なぜなら、よそ者のアナウンスが共有知識になったことで、島民は自分の目の色を論理的に推論できるようになるからです。

帰納法で考えると、もし青い目の人が1人（k=1）だけなら、その人はよそ者のアナウンスを聞き、他の全ての人が緑の目であることを見ているため、自分が唯一の青い目の人だと認識し、最初の朝に島を出ます。

青い目の人が2人（k=2）いる場合、最初の朝には誰も島を出ません。なぜなら、それぞれの青い目の人は、自分以外のもう一人が青い目であることを見ており、自分が緑の目の可能性も排除できないからです。しかし、誰も島を出なかったことから、「k=1ではない」ということが全員に分かります。それぞれの青い目の人は、相手が青い目の人が一人しかいないとすれば出て行ったはずなのに出て行かなかったのは、青い目の人が自分を含めて二人いるからだと推論し、2日目の朝に二人とも島を出て行きます。

同様に、青い目の人がk人いる場合、最初のk-1日間は誰も島を出ません。これは、少なくともk人以上の青い目の人がいなければ起こりえない状況です。青い目の島民たちは、自分以外のk-1人が青い目であることをすでに見ています。そしてk-1日経っても誰も出て行かなかったことから、「青い目の人が少なくともk人いる」という共有知識と、「自分以外のk-1人が青い目である」という自分の知識を組み合わせることで、自分の目も青いという結論に至り、k日目の朝に全員が島を出て行きます。

このパズルの興味深い点は、k>1の場合、よそ者は島民がすでに知っている事実（青い目の人が少なくとも一人いること）を言っただけだということです。しかし、この事実が「共有知識」になる前は、たとえ全員が知っていたとしても、それが「全員に知られている」ということが「全員に知られている」といった無限の階層までは達していませんでした。よそ者のアナウンスが、その階層を共有知識の状態にまで引き上げたのです。この例は、単に事実を知っているだけでなく、その事実がどのように共有されているかが集団の行動に大きな影響を与えることを示しています。

定式化

共有知識は、論理学や数学を用いて厳密に定式化することができます。一つは様相論理を用いる方法で、個々のエージェントの知識を表す演算子を導入し、「全員が知っている」という状態が無限に繰り返されることを表現します。もう一つは集合論を用いる方法で、可能性のある世界の集合の中で、エージェントの知識状態を世界の分割として表現し、知識関数を定義することで共有知識の状態を記述します。オーマンの定式化は集合論に基づいています。

応用分野

共有知識の概念は多岐にわたる分野で応用されています。デイヴィド・ルイスは、社会における慣習や規約がどのように成立し維持されるかを説明するためにこの概念を用いました。経済学においては、ロバート・オーマンが共有知識の定式化を用いて「一致定理」を証明し、特定の条件下では合理的なエージェント間で意見の不一致（例えば投機）が起こりにくいことを示しました。ゲーム理論では、プレイヤーの合理性が共有知識であるという仮定が長らく基本的な前提とされてきましたが、この仮定とナッシュ均衡の関係についても研究が進められています。計算機科学では、分散システムの設計において、システム内のエージェント間での情報の共有状態や知識レベルを分析するために認識論理とともに共有知識が用いられます。また、言語学においても、冗談や風刺のような間接的なコミュニケーション形式の成立・理解において、話し手と聞き手の間にある共有知識が重要な役割を果たすと考えられています。

関連事項

相互知識: 全員が知っているが、それが全員に知られている必要はない状態。
二人の将軍問題: 信頼性の低い通信チャネルを通して、二者間で協調行動に必要な共有知識を確立することの困難性を示す問題。

これらの関連概念や問題は、情報伝達や協調における共有知識の重要性を浮き彫りにします。

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