共通部分 (数学)

集合族の共通部分とは

数学において、複数の集合に共通に含まれる要素を集めた集合を「共通部分」と呼びます。これは、与えられた集合の集まり（集合族）全体に共通する要素をすべて含む集合であり、それ以外の要素は含みません。共通部分を求める操作は、集合演算の基本の一つです。

共通部分は、以下のような様々な呼び方があります。

共通集合
共通分
交叉（こうさ）
交差（こうさ）
交わり（まじわり）
積集合（せきしゅうごう）
* 積（せき）

ただし、「積集合」という言葉は、直積集合の意味で使われることも多いので注意が必要です。

2つの集合の共通部分

集合 A と集合 B の共通部分は、A ∩ B と表記されます。これは、「x が A ∩ B に含まれる」ことが、「x が A に含まれ、かつ x が B に含まれる」ことと同値であることを意味します。記号で表すと以下のようになります。


A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }


もし、A ∩ B に含まれる要素が存在する場合、A と B は「互いに交わる」または「交わりを持つ」と言います。逆に、共通の要素が一つも存在しない場合は、A と B は「互いに素」である、または「交わりを持たない」と言い、このとき A ∩ B は空集合（∅）となります。

有限個の集合の共通部分

複数の集合 M₁, M₂, ..., Mk の共通部分は、これらの集合すべてに共通に含まれる要素の全体です。集合の共通部分は結合法則を満たすため、複数の集合の共通部分を求める際には、計算する順番は重要ではありません。すなわち、(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) が成り立ちます。

したがって、以下のように表すことができます。


M₁ ∩ M₂ ∩ ... ∩ Mk


これは、以下のように記述することもできます。


⋂_{n=1}^{k} M_n = M₁ ∩ M₂ ∩ ... ∩ Mk

任意の集合の共通部分

任意の集合族 {Mλ} (λ ∈ Λ) の共通部分は、その集合族に属するすべての集合に共通に含まれる要素の全体です。つまり、すべての λ ∈ Λ に対して x ∈ Mλ となるような要素 x の全体です。

これは以下のように表されます。


⋂ M, ⋂_{M∈M} M, ⋂_{λ∈Λ} Mλ


特に、集合列 {Mn} (n ∈ N) の共通部分（可算共通部分）は、以下のように表すことができます。


⋂_{n=1}^{∞} M_n = M₁ ∩ M₂ ∩ M₃ ∩ ... = M₁ ∩ (M₂ ∩ (M₃ ∩ ...))


与えられた集合族の共通部分が空集合となる場合、その集合族は「交わりを持たない」と言います。また、どの二つの集合を選んでも共通部分が空集合である場合、その集合族は「対ごとに交わりを持たない」と言います。このとき、集合族全体として交わりを持つ場合もあり、注意が必要です。

共通部分の例

例として、P = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下の奇数の集合）と Q = {2, 3, 5, 7} （10 以下の素数の集合）の場合、共通部分 P ∩ Q は {3, 5, 7} となります。一方、R = {2, 4, 6, 8, 10} （10 以下の偶数の集合）とすると、P と R には共通の要素が存在しないため、P ∩ R は空集合になります。

実数からなる開区間の族 M = {(0, 1 + 1/n) | n は 1 以上の自然数} の共通部分は半開区間 (0, 1] となります。これは、すべての区間に含まれる最大の集合を求める操作に対応します。


⋂ M = ⋂_{n=1}^{∞} (0, 1 + 1/n) = (0, 1]

空集合との関係

与えられた集合族の共通部分が空集合となる場合、その集合族は「交わりを持たない」と言います。 また、どの二つの集合を選んでも共通部分が空集合である場合、その集合族は「対ごとに交わりを持たない」と言います。このとき、集合族全体として交わりを持つ場合もあり、注意が必要です。

注意点

任意の集合の共通部分を定義する際、空集合を排除するのは、空集合の共通部分を考えると、「すべての集合に属する要素」という条件を満たす要素が存在しないためです。この問題を回避するために、宇宙と呼ばれる大きな集合 U を固定し、その部分集合のみを考えることがあります。この場合、空集合の共通部分は宇宙全体 U に一致します。

まとめ

集合族の共通部分は、複数の集合に共通する要素を抽出する基本的な操作です。この記事では、その定義、記号、様々な例、そして注意点について解説しました。共通部分は、数学の様々な分野で重要な役割を果たしており、その理解は不可欠です。

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