円に外接する台形

円に外接する台形

ユークリッド幾何学において、4つの辺がすべて内接円に接する台形を円に外接する台形と呼びます。別名、接線台形、外接台形とも呼ばれます。少なくとも一組の対辺が平行である接線四辺形の一種です。平行な辺を底辺、他の2辺を側辺と呼びます。側辺の長さは必ずしも等しくありません。

特殊な例

円に外接する台形の特別なケースとして、ひし形や正方形が挙げられます。これらの図形は、全ての辺が内接円に接するという性質を持っています。

図形の性質

円に外接する台形ABCDにおいて、内接円が辺ABとCDにそれぞれ点WとYで接する場合、ABとCDが平行となるための必要十分条件は、AW・DY = BW・CY が成り立つことです。

同様に、ADとBCが平行となるための必要十分条件は、AW・BW = CY・DY が成り立つことです。これらの条件は、台形の平行性と内接円の接点の位置関係を示しています。

面積

円に外接する台形の面積は、ピトーの定理を用いて簡潔に表すことができます。底辺の長さをa、b、側辺の長さをcとすると、面積Kは次の式で表されます（この式は底辺が平行な場合のみ有効です）。

K = (a+b)/|b-a| * √[ab(a-c)(c-b)]

また、接線の長さをe, f, g, hとすると、面積Kは次のように表すこともできます。

K = (⁴√(efgh))(e+f+g+h)

これらの公式は、台形の底辺の長さと側辺の長さ、あるいは接線の長さから面積を直接計算することを可能にします。

内接円の半径

内接円の半径rは、面積Kと底辺a、bを用いて次のように表すことができます。

r = K/(a+b) = √[ab(a-c)(c-b)]/|b-a|

また、接線の長さe, f, g, hを用いると、

r = ⁴√(efgh)

と表すことができます。内接円の直径は、台形の高さに等しくなります。さらに、ABとCDが平行な場合、r = √(eh) = √(fg)という関係が成り立ちます。

円の特性

内接円が底辺に点P、Qで接する場合、P、内心I、Qは一直線上にあるという性質があります。また、∠AIDと∠BICは直角となります。これらの関係は、円と台形の幾何学的関係を示しています。

その他の属性

円に外接する台形の中央線は、台形の外周の1/4に相当し、底辺の和の半分に等しくなります。2つの円の直径がそれぞれ側辺と一致する場合、これらの円は互いに接します。

直角接線台形

隣り合う2つの角が直角である接線台形を直角接線台形と呼びます。底辺の長さをa、bとすると、内接円の半径rは

r = ab/(a+b)

となり、直径は底辺の調和平均になります。面積KはK=ab、外周PはP=2(a+b)となります。

等脚接線台形

側辺の長さが等しい接線台形を等脚接線台形と呼びます。等脚台形は円に内接するため、等脚接線台形は双心四角形（内接円と外接円の両方を持つ四角形）です。

底辺をa、bとすると、内接円の半径rは

r = (1/2)√(ab)

で表されます。この公式は、日本の算額問題から導き出されました。ピトーの定理から、側辺の長さは底辺の和の半分であることがわかります。面積Kは

K = (1/2)√(ab)(a+b)

となります。等脚接線台形は、底辺の算術平均と幾何平均をそれぞれ側辺の長さと内接円の直径とする、美しい幾何学的性質を持っています。

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