円束 (射影幾何学)

円束とは

円束（えんそく、pencil of circles）は、数学、特に射影幾何学で扱われる、二つの特定の円（「基円」または「生成円」）から決まる無限個の円の集まりです。初等幾何学では、「与えられた二円の交点を通る、すべての円や直線」として現れます。解析幾何学を用いると、基円の方程式から、円束内のすべての円の方程式を統一的に表現できます。基円が交わらない場合でも、円束は定義可能です。

円束に属する円の中心は一つの直線上に並びます。この直線を「中心線」または「中心軸」と呼びます。円束の特性は、中心軸の他に「焦点」と呼ばれる二点や、「根軸」という直線によっても捉えられます。

円束の方程式

二つの円がそれぞれ方程式 $C_1 = 0$ ($x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$) および $C_2 = 0$ ($x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$) で与えられるとき、これらの円が生成する円束に属する円の方程式は、一般に次の線型結合で表されます。

$$ \lambda C_1 + \mu C_2 = 0 $$

ここで $\lambda, \mu$ は同時にゼロではない実数のパラメータです。パラメータ ($\lambda, \mu$) を変えることで、円束内の各円が定まります。元の二つの円 $C_1=0$ と $C_2=0$ は、それぞれ ($\lambda=1, \mu=0$) や ($\lambda=0, \mu=1$) と置いた場合に対応し、これらを円束の「基円」または「生成円」と呼びます。ただし、円束内の任意の異なる二円を、その円束の新たな生成円とすることも可能です。

$\mu
eq 0$ と仮定できる場合、方程式は $k = \lambda/\mu$ と置いて、一つのパラメータ $k$ を用いて $k C_1 + C_2 = 0$ と書けます。しかし、この形式では $\mu=0$ に対応する基円 $C_1=0$ を含めることができません。パラメータの組 ($\lambda, \mu$) は、射影幾何学における斉次座標と同様の性質を持ちます。

円の一般形と斉次座標

平面上の円 $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$ は、展開すると一般に

$$ \alpha (x^2 + y^2) - 2\beta x - 2\gamma y + \delta = 0 $$

の形で表せます。ここで ($\alpha, \beta, \gamma, \delta$) は定数で、例えば $\alpha=1, \beta=p, \gamma=q, \delta=p^2+q^2-r^2$ となります。この四つ組は全体のスカラー倍を除いて円を uniquely 定めるため、円を表す斉次座標とみなせます。$\alpha=0$ の場合は直線を表し、これは「退化した円」と解釈できます。$\alpha
eq 0$ の場合、中心 ($\beta/\alpha, \gamma/\alpha$)、半径 $r^2 = (\beta^2+\gamma^2-\alpha\delta)/\alpha^2$ の円となります。$r=0$ の点円や、$r^2 < 0$ の虚円となる場合もあります。

二つの円が斉次座標 ($\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$) と ($\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2$) で与えられるとき、これらが生成する円束は、パラメータ $z$ を用いたアフィン結合 $z (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1) + (1-z) (\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2)$ によって表される円の集合として捉えることもできます。

円束の分類

円束は、生成円の交わり方によって三種類に分類されます。

1. 楕円型円束: 二つの基円が二点で交わる場合。円束内のすべての円はこの二点を通ります。虚円は含みません。
2. 双曲型円束: 二つの基円が交わらない場合。実円、虚円、そして半径ゼロの二つの点円（ポンスレ点または焦点）を含みます。平面上の各点を通る円束内の円はただ一つです。
3. 放物型円束: 二つの基円が一点で接する場合。全ての円が共通の接点で接する実円の族です。この接点自身も円束に含まれます。

特殊なケースとして、同心円の族は双曲型円束の特別な形と見なせます。対応する楕円型円束は、共通の中心を通る直線の族（無限大の半径の円）となります。

根軸と中心軸

同心円束や直線束を除き、円束に属する任意の二円は共通の根軸を持ち、全ての円の中心は共線となります。このような性質を持つ三つ以上の円は「共軸（coaxial）」であると言われます。

• - 楕円型円束の根軸は、共通の二点（基点）を結ぶ直線です。中心軸は、この線分の垂直二等分線です。
• - 双曲型円束の根軸は、二つのポンスレ点を結ぶ線分の垂直二等分線となります。中心軸は、ポンスレ点を結ぶ直線と一致します。
• - 直線束の根軸は、その直線束自身です。

三つ以上の円がどの二つも共通の根軸を持ち、中心が一直線上にあるならば、それらは必ず共通の円束に属します。

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