根軸

根軸

初等幾何学における根軸（こんじく、英: radical axis）とは、平面上の二つの円に対して、それぞれの円へ引くことのできる接線の長さが互いに等しくなるような点の集合を指します。この特別な点の集まりは、常に一つの直線を形成します。根軸の重要な幾何学的性質として、二つの円の中心を結んだ直線に対して垂直に交わるという点が挙げられます。

定義と性質

根軸上の点Pは、それぞれの円に関する方べきが等しいという性質を持ちます。点Pを中心とする円で、元の二つの円と直交する円を考えることができます。この直交する円の半径をRとすると、点Pから各円の中心までの距離をそれぞれ$d_1, d_2$、各円の半径を$r_1, r_2$としたとき、$R^2 = d_1^2 - r_1^2 = d_2^2 - r_2^2$という関係が成り立ちます。これは、点Pが根軸上にあるための必要十分条件を示しており、方べきの定理を用いて定義することも可能です。

特別な場合として、二つの円が異なる二点で交わる場合、根軸はその二つの交点を通る直線に一致します。また、二つの円が一点で接する場合、根軸はその接点における二円の共通接線となります。

根軸上の任意の点を中心として、元の二つの円と直交する円は常に存在します。逆に、与えられた二つの円に同時に直交する円の中心は、必ず根軸上に位置します。

二つの離れた円を考えたとき、それらを基底とする双極座標系においては、根軸はしばしばy軸に対応します。また、同一の根軸を共有する円の族は、アポロニウスの円束として知られています。

根心（Radical Center）

平面上に、どの二つも同心円でない三つの円A, B, Cがある場合を考えます。このとき、「根軸定理」と呼ばれる重要な定理が成り立ちます。それは、円Aと円Bの根軸、円Bと円Cの根軸、そして円Aと円Cの根軸という、三組の根軸がただ一点で交わるか、または全て平行であるという主張です。通常、これらは一点で交わります。この交点は根心（radical center）と呼ばれます。

根心は、三つの円のどの二つに対しても接線の長さが等しくなる点であり、そこを中心として三つの円すべてに直交する円が存在します。この円は根円（radical circle）と呼ばれます。

根軸定理の証明は比較的容易です。円AとBの根軸上の点はAとBに関する方べきが等しく、円BとCの根軸上の点はBとCに関する方べきが等しいです。したがって、これら二つの根軸の交点は、A, B, Cの全てに関する方べきが等しくなります。これはAとCに関する方べきも等しいことを意味するため、この交点はAとCの根軸上にもあることになり、三つの根軸が一点で交わることが示されます。

作図法

二つの円A, Bの根軸を作図するには、根軸上に少なくとも二つの点を見つける必要があります。一つの方法として、元の二つの円と交わる補助円Cを用いる方法があります。円AとCの根軸、および円BとCの根軸は容易に作図できます（これらの円が交わる場合は交点を通る直線、接する場合は共通接線）。これらの二つの根軸の交点は、前述の根軸定理により、円A, B, Cの根心であり、同時に円AとBの根軸上にもあります。もう一つ別の補助円Dを用いて別の根心を見つければ、これら二つの根心を結ぶ直線として目的の根軸が得られます。

外部にある二つの円の場合、それらの相似の中心から引いた直線と各円の交点を利用して根軸上の点を見つける方法や、二つの円の共通外接線を利用して根軸上の点を見つける方法も存在します。

根軸が二つの円の中心を結ぶ直線と垂直に交わる点（根軸の中心線上の射影）は、代数的にその位置を決定できます。中心間の距離をD、各円の半径を$r_1, r_2$としたとき、この交点から各中心までの距離$x_1, x_2$は、$x_1^2 - x_2^2 = r_1^2 - r_2^2$および$x_1 + x_2 = D$を満たします。これを解くと、$x_1 = rac{D}{2} + rac{r_1^2 - r_2^2}{2D}$, $x_2 = rac{D}{2} - rac{r_1^2 - r_2^2}{2D}$ となり、根軸の位置を特定できます。

高次元への拡張

根軸の概念は、3次元空間における二つの球に対しても同様に拡張されます。この場合、二つの球に関する方べきが等しい点の集合は平面となり、これを根平面（radical plane）と呼びます。これは二つの球の中心を結ぶ直線に垂直な平面です。さらに高次元空間においても、同様の性質を持つ超平面を定義することができます。

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