円錐台

円錐台：形状と体積、側面積の求め方

円錐台は、円錐を底面に平行な平面で切り、頂点に近い方の部分を切り落としてできた立体図形です。よく知られた例として、プリンの容器が挙げられます。中学受験の数学では頻出問題であり、その体積や側面積の計算は重要な学習項目となっています。

円錐台の体積

円錐台の体積を求めるには、いくつかの方法があります。まず初等的な方法として、大きな円錐から小さな円錐を切り取る方法があります。この方法は積分計算を知らなくても体積を求めることができます。

初等的な導出

上底面の面積をS₁、下底面の面積をS₂、円錐台の高さをhとします。大きな円錐全体の高さHは、相似な三角形の性質を利用して求めることができます。

\( \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \frac{H-h}{H} \)

この式をHについて解くと、

\( H = \frac{\sqrt{S_2}h}{\sqrt{S_2} - \sqrt{S_1}} \)

となります。大きな円錐の体積から小さな円錐の体積を引くことで、円錐台の体積Vを求めることができます。

\( V = \frac{1}{3}S_2H - \frac{1}{3}S_1(H-h) \)

上記のHを代入して整理すると、

\( V = \frac{h}{3}(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) \)

となります。上底面の半径をr₁、下底面の半径をr₂とすると、それぞれの面積は\( S_1 = \pi r_1^2 \)と\( S_2 = \pi r_2^2 \)です。これらを代入し整理すると、円錐台の体積は以下のように表すことができます。

\( V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) \)

積分による導出

積分を用いることで、より直接的に体積を求めることができます。円錐台をx軸に沿って積分することで体積を求めます。

\( V = \int_0^h \pi (\frac{r_1 - r_2}{h}x + r_2)^2 dx = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) \)

また、パップス＝ギュルダンの定理を用いる方法もあります。この定理を用いると、回転体の体積は、回転体の断面積と重心の軌跡の長さから計算できます。

円錐台の側面積

円錐台の側面積を求めるには、母線lの長さを用います。上底面の半径をr₁、下底面の半径をr₂とすると、側面積SSは

\( S_S = \pi(r_1 + r_2)l \)

となります。

まとめ

この記事では、円錐台の体積と側面積の求め方について解説しました。初等的な方法と積分を用いた方法の両方を知ることで、問題に応じて最適な方法を選択することができます。円錐台は、幾何学的な理解を深める上で重要な図形であり、その体積や側面積の計算は、数学の学習において基礎的なスキルとなります。

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