冪零行列

冪零行列：定義と性質

冪零行列とは、自身を繰り返し掛け算（冪乗）することで零行列（すべての要素が0の行列）になる正方行列のことです。より正確には、ある自然数mが存在し、M^m = O（Oは零行列）を満たす行列Mを冪零行列と呼びます。ここで、M^mは行列Mをm回掛け合わせた結果を表します。

例：

2×2行列 A = [-1, 1; -1, 1] は、A² = O となる冪零行列です。

3×3行列 B = [0, 1, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 0] は、B³ = O となる冪零行列です。

一般的に、次のような形をした行列も冪零行列です。


[0, a, b]
[0, 0, c]
[0, 0, 0]


(a, b, c は実数)

冪零行列の重要な性質として、その固有値はすべて0であることが挙げられます。逆に、すべての固有値が0である正方行列は冪零行列です。また、冪零行列は正則行列ではありません（逆行列を持たない）。

さらに、Nが冪零行列であれば、(I - N) は正則行列となります（Iは単位[[行列]]）。これは、任意のスカラーtに対して、以下の式が成り立つことから導かれます。

I - (tN)ⁿ = (I - tN)(I + tN + ... + (tN)^n-1)

Nⁿ = O であるため、I - tN は正則行列となります。

冪零行列の標準形

任意の冪零行列は、特定の標準形に変換することができます。この標準形は、いくつかのより小さな冪零行列をブロック対角線上に配置した区分行列の形をしています。

例えば、n次元の単位[[行列]]E_nを用いて、次のような行列N_nを定義します。

N₁ = [0]

N₂ = [0, 1; 0, 0]

N₃ = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0]

...

これらの行列N_nをいくつかの直和として組み合わせることで、任意の冪零行列の標準形を表すことができます。この標準形は、行列の階数（rank）を用いて一意的に決定されます。

例：

4次元の冪零行列の標準形は、以下の5種類があります。

[N₄]

[N₃, 0; 0, N₁]

[N₂, 0; 0, N₂]

[N₂, 0, 0; 0, N₁, 0; 0, 0, N₁]

[N₁, 0, 0, 0; 0, N₁, 0, 0; 0, 0, N₁, 0; 0, 0, 0, N₁]

これらの標準形は、それぞれ異なる階数を持つ行列に対応しています。冪零行列の標準形は、行列の構造を理解する上で非常に重要です。

リー代数との関係

特定の形をした冪零行列の集合は、交換子積（XY - YX）という演算に関して、リー代数を形成することが知られています。これは、特にハイゼンベルク群のリー代数において重要な役割を果たします。

参考文献

佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年

まとめ

この記事では、冪零行列の定義、基本的な性質、そして標準形について解説しました。冪零行列は、線形代数学において重要な役割を果たしており、その理解はより高度な線形代数の概念を学ぶ上で不可欠です。

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