単位行列

単位行列：線形代数の基礎

線形代数において、単位行列は非常に重要な役割を果たす正方行列です。単位行列とは、あるベクトル空間における線形変換において、そのベクトル空間の要素を変化させない、いわば恒等変換を表す行列です。

単位行列の定義

単位行列は、対角成分がすべて1で、それ以外の成分がすべて0である正方行列です。n次正方行列の場合、n行n列の行列となり、次のように表されます。


[ 1 0 0 ... 0 ]
[ 0 1 0 ... 0 ]
[ 0 0 1 ... 0 ]
[ ... ... ... ... ]
[ 0 0 0 ... 1 ]


ここで、対角成分とは、行列の左上から右下へ続く対角線上の成分を指します。

一般的に、n次単位行列は I_n、E_n、あるいは単に I や E と表記されます。行列の要素を a_ij とすると、単位行列は次のように定義できます。


a_{ij} = { 1 (i = j)
{ 0 (i ≠ j)


これは、i行j列の要素が、行番号と列番号が一致する場合 (i = j) は1、一致しない場合 (i ≠ j) は0となることを意味します。

単位行列の性質

単位行列は、以下の重要な性質を持ちます。

単位元: 任意のn次正方行列 A に対して、AI = IA = A が成り立ちます。つまり、単位行列は行列の積演算における単位元として機能します。
正方行列: 行と列の数が等しい正方行列です。
対角行列: 対角成分以外がすべて0である行列です。
対称行列: 転置行列が自身と等しい行列です。
逆行列: 単位行列自身の逆行列は、それ自身です (I⁻¹ = I)。
固有値と特異値: すべての固有値と特異値は1です。
行列式: 行列式は常に1です (det(I) = 1)。

単位行列の表記法

単位行列は、様々な表記法で表されます。

I_n, E_n: n次単位行列を表す一般的な表記法です。
I, E: nが文脈から明らかな場合、添字を省略して I や E と表記することもあります。
diag(1, 1, ..., 1): 対角行列の表記法を用いた表現です。
* (δ_ij): クロネッカーのデルタを用いた表現です。クロネッカーのデルタ (δ_ij) は、i = j のとき 1、i ≠ j のとき 0 となる関数です。

スカラー行列との関係

単位行列をスカラー倍した行列をスカラー行列と言います。スカラー行列は、対角成分がすべて同じスカラー値であり、それ以外の成分がすべて0である行列です。単位行列は、スカラー値が1であるスカラー行列と考えることができます。スカラー行列は、単位行列と密接に関連しており、線形変換におけるスケーリング操作を表す際に使用されます。

まとめ

単位行列は、線形代数において基本的な役割を果たす重要な行列です。その定義、性質、表記法、そしてスカラー行列との関係を理解することは、線形代数の更なる学習において不可欠です。

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