分位数

分位数に関する概要

分位数は、データの分布を特定の割合で分割するための統計的指標です。これは特にデータの代表的な値を理解するために重要な役割を果たします。分位数という用語は、分位点や分位値とも称され、英語での呼び名は「quantile」です。

分位数とは

分位数は実数の範囲内の値であり、特定の確率に基づいてデータを分割します。たとえば、qが0.25の場合、1/4分位数はデータの25%がその値以下であることを示します。このように、分位数はデータの位置を表す重要な道具となります。

特定の正の整数mにおいて、m分位数はデータの分布をm等分するために使われます。具体的には、m-1個の分位数があり、これらはそれぞれ第i m分位数と呼ばれます。たとえば、m=4であれば、これに対応するのは四分位数（quartiles）であり、1/4分位数、2/4分位数（中央値）、3/4分位数で構成されます。

分位数の計算

n個のデータに対するq分位数は、データを昇順に整列させた後、以下の方法で算出されます。まず、定義されたqの値に基づいて、次の式が導かれます:

$$Q_q = x(1 - q + qn)$$

ここで、x(t)は数列の線形内挿数関数へと拡張され、tが自然数である場合は単にxtとなります。非整数tの場合、これには床関数および天井関数が関連してきます。

確率分布における分位数

分位数は確率分布の特性を理解するためにも重要です。1次元確率分布f(x)についてq分位数は、次の条件を満たすように定義されます:

• - $$ ext{∫}_{- ext{∞}}^{Q_q} f(x) dx ext{ ≥ } q$$
• - $$ ext{∫}_{Q_q}^{ ext{∞}} f(x) dx ext{ ≥ } 1 - q$$

これにより、分位数が分布のどの部分に位置するのかを把握でき、分布の特性を深く理解する手段となります。

特別な数値

特に注目すべき分位数としては、中央値、四分位数、三分位数、五分位数、十分位数、そしてパーセンタイルがあり、これらはそれぞれデータの異なるばらつきや位置を表します。

• - 中央値（メディアン）: 1/2分位数として定義され、データの中心を示します。
• - 四分位数: 特に分析で使われる指標で、データを四等分する際に用いられ、下側四分位数と上側四分位数が存在します。

五数要約

分位数を用いてデータの特徴を簡潔に表したものが五数要約です。これは最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジを包含し、しばしば箱ひげ図で視覚化されます。これによって、データ全体の分布状況を一目で把握することが可能です。

結論

分位数は統計データにおいて非常に重要な指標であり、さまざまな分位数を理解し利用することで、データの意味を的確に捉えることができます。これにより、分析や意思決定をより効果的に行うことが可能となります。

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