分配函数 (場の量子論)

分配函数の概念と使用法

場の量子論において、分配函数（partition function）Z[J]は相関函数の母函数として重要な役割を果たしています。この分配函数は汎函数積分の形で定義され、次のように表現されます。

$$
Z[J] = ext{∫}Dϕ ext{exp} igg(iigg(S[ϕ] + ext{∫}d^d x J(x) ϕ(x)igg)igg)
$$

ここで、Sは作用汎函数を示し、Jは外部場として知られる任意の函数です。このように定義される分配函数は、統計力学の分配函数の特別なケースであり、相関函数を計算するための基本的なツールとされています。また、普通の分配函数では可算個のランダム変数が扱われますが、場の量子論では非可算な集合が対象となり、場の汎函数積分が不可欠です。

n-点相関関数の表現

n-点相関関数G_nは、経路積分の形式を使って次のように表現できます。

$$
G_n(x_1, ..., x_n) = rac{ ext{∫}Dϕ ext{ϕ}(x_1) imes ... imes ext{ϕ}(x_n) ext{exp}igg(iS[ϕ]/ ext{ℏ}igg)}{ ext{∫}Dϕ ext{exp}igg(iS[ϕ]/ ext{ℏ}igg)}
$$

この式の左側は、S-行列要素を計算する際の時間順序積であり、右側はフィールド構成を通じての積分を示しています。分配函数Z[J]を使用することで、経路積分の計算を効率化でき、Jは「カレント」とも呼ばれる外部输入と見なされます。

統計力学との関係

場の量子論における母函数は、統計力学の分配函数と類似しており、系の特性について深く理解するための手段を提供します。分配函数が完全に閉じた形式で表現できる場合、理論を完全に解くことも可能です。統計力学の分配函数とは異なり、場の量子論では作用に余分な因子iが含まれ、積分の結果は実数ではなく複素数を用います。この点がしばしば誤解され、この複素数の役割は確率振幅として理解されるべきです。つまり、場ϕは確率振幅として扱われ、複素射影空間に値を取るのです。

また、複素射影空間におけるヤコビ行列式は、場のモデリングにおいて重要な役割を果たします。さらに、確率振幅が他の数学的空間において値を取る際には、iが適切な因子へ置き換えられるべきです。

まとめ

このように、場の量子論における分配函数は、相関関数計算の基礎となり、さらに統計力学との深い関係が示されています。この理論を深く理解することで、物理学的現象をより正確に捉える手助けになるでしょう。

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