ヤコビ行列

ヤコビ行列：多変数関数の微分を解き明かす鍵

ヤコビ行列は、多変数ベクトル値関数の微分を記述する強力な数学的ツールです。一変数関数の導関数や、一変数ベクトル値関数の勾配を多変数ベクトル値関数に拡張した概念と言えるでしょう。その名は、19世紀の偉大な数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来します。

ヤコビ行列の定義

n個の実数変数からなる入力ベクトルx = (x₁, x₂, ..., xₙ) を受け取り、m個の実数値を返す関数 f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., fₘ(x)) を考えます。このfのヤコビ行列Jfは、fの各成分の各変数に関する偏微分を並べたm×n行列として定義されます。具体的には、以下のように表されます。


Jf = [
∂f₁/∂x₁ ∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₙ
∂f₂/∂x₁ ∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₙ
...
∂fₘ/∂x₁ ∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₙ
]


各成分は、点xにおけるfᵢのxⱼに関する偏微分を表します。

ヤコビアン：ヤコビ行列式

m=nの場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その行列式を計算できます。この行列式をヤコビアンまたはヤコビ行列式と呼びます。ヤコビアンは、変数変換によって面積要素や体積要素がどのように変化するかを示す重要な量です。重積分の変数変換において、ヤコビアンは積分変換式に現れ、積分計算を容易にする役割を果たします。

ヤコビ行列の性質と応用

ヤコビ行列は、様々な重要な性質を持ち、多様な分野に応用されています。

微分係数の拡張: 一変数関数の微分係数は、ヤコビ行列の特別な場合と見なせます。
全微分可能性: 関数が点pで微分可能である場合、点pにおけるヤコビ行列は関数の一次近似を与えます。つまり、ヤコビ行列は関数の局所的な挙動を線形写像として近似します。
合成関数の微分: 合成関数のヤコビ行列は、各関数のヤコビ行列の積として計算できます。この性質は連鎖律の多変数関数への拡張に対応しています。
逆関数定理: ヤコビ行列が正則である場合、その関数は局所的に逆関数を持ち、その逆関数のヤコビ行列は元の関数のヤコビ行列の逆行列となります。
特異点の検出: ヤコビ行列のランクが低下する点は、特異点または臨界点と呼ばれ、関数の挙動を分析する上で重要です。
多様体論: 多様体間の写像の微分を表現するために、ヤコビ行列が利用されます。

ヤコビ行列は、多変数微分積分学、多様体論、最適化問題、力学、コンピュータグラフィックスなど、幅広い分野で基礎的な役割を担っており、多くの応用が考えられます。

極座標系におけるヤコビアンの例

ヤコビアンの具体的な計算例として、直交座標系と極座標系間の変換を考えます。

円座標: (x, y) = (r cosθ, r sinθ) のヤコビアンはrとなります。r=0の点が特異点です。
円柱座標: (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) のヤコビアンはrとなります。r=0の点が特異点となり、z軸全体が特異点となります。
* 球座標: (x, y, z) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) のヤコビアンはr²sinθとなります。r=0、sinθ=0の点が特異点となり、z軸全体が特異点となります。

これらの例では、ヤコビアンが0となる点が特異点として現れ、この点が幾何学的な意味付けを持っています。

結論

ヤコビ行列は、多変数関数の微分を扱う上で不可欠な概念です。その行列式であるヤコビアンは、変数変換や面積・体積要素の計算において重要な役割を果たし、様々な分野で応用されています。ヤコビ行列とヤコビアンの理解は、高度な数学の学習に不可欠です。

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