切断ガンマ分布

切断ガンマ分布について

切断ガンマ分布（せつだん-ぶんぷ）は、確率論において非常に重要な連続型確率分布の一つです。この分布は、従来のガンマ分布に特定の範囲を設け、確率変数の定義域を上下に制限することによって形成されます。具体的には、切断ガンマ分布では確率変数 x が 0 以上 z 以下（0 ≤ x ≤ z）であることが求められます。

定義と確率密度関数

切断ガンマ分布の確率密度関数は以下の式で表されます。

$$
f(x; k, θ, z) = \frac{x^{k-1} \exp(-x/θ)}{\int_{0}^{z} t^{k-1} \exp(-t/θ) dt}, \, 0 \leq x \leq z
$$

この式において、k は形状パラメータ、θ はスケールパラメータ、z は上限を示します。

分子の部分では確率変数 x に対してガンマ分布に基づいた関数が用いられ、分母は不完全ガンマ関数の定義から導かれています。このようにして、特定の範囲内での確率密度が計算されます。

モーメント

切断ガンマ分布の特性の一つにモーメントの計算があります。r 次のモーメントは以下のように表されます。

$$
μ_{r}'(X) = \frac{θ^{γ}Γ_{z/θ}(k + γ)}{Γ_{z/θ}(k)}
$$

ここで、Γx(a) は不完全ガンマ関数を表し、以下の式で定義されます。

$$
Γ_{x}(a) = \int_{0}^{x} u^{a-1} \exp(-u) du
$$

この不完全ガンマ関数を用いることで、切断ガンマ分布のモーメントを計算することが可能となります。

特徴と応用

切断ガンマ分布は、特定の範囲に制約を設けた確率分布が必要とされる多くの応用に利用されます。例えば、品質管理や生存分析、クレジットリスクの評価など、さまざまな統計的手法において重要な役割を果たしています。このように、切断ガンマ分布は、特に限界が存在する場合にその特性を発揮するため、非常に役立つ分布といえるでしょう。

参考文献

本記事の内容に関連する詳細な情報は、蓑谷千凰彦による『統計分布ハンドブック』（朝倉書店、2003年）を参照してください。この文献には切断ガンマ分布を含む多くの確率分布に関する説明が豊富に掲載されています。

関連項目

切断ガンマ分布に関連する分野には、確率分布全般が含まれます。また、他の連続型確率分布との比較や、それぞれの特徴についても学ぶことで、さらに深い理解が得られるでしょう。

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