制約 (数学)

制約（せいやく）について

制約とは、数学や最適化問題において解が満たすべき条件のことを指します。これらの制約は、問題が求める解を特定するためのルールとなり、通常は等式、不等式、整数制約という異なる形式で存在します。すべての制約を満たす解の集合は「実行可能集合」と呼ばれ、最適な解を導くための重要な要素となります。

最適化問題の例

例えば、次のような最適化問題を考えます。

最小化すべき目的関数は次の通りです：

$$
ext{min } f(x) = x_1^2 + x_2^4
$$

これに対して以下のような制約があります：

• - $$x_1 ext{ } ext{is greater than or equal to } 1$$
• - $$x_2 = 1$$

ここで、ベクトル $$x$$ は $(x_1, x_2)$ を示します。この問題においては、最初に示した関数が最小化される解を求めることが目的です。2つの制約はそれぞれ、最初の不等式制約と次の等式制約を表し、これらの制約は解が常に満たさなければならない「ハード制約」として分類されます。

もしこの問題に制約が存在しない場合、目的関数が最小となるのは解の座標が $(0, 0)$ であることがわかります。しかし、この解は与えられた制約を満たしていないため、実行可能な解とはならず、より適切な解は $$x = (1, 1)$$ です。このケースでは、制約の条件を尊重しつつ目的関数を最小化した解を確保しています。

用語の解説

最適点において不等式制約について等号が成立している場合、それは「束縛制約」と見なされます。この束縛制約は、目的関数の値を改善しようとしても、その最適点を超える解は存在しないことを意味します。逆に、不等式制約が厳密に成り立つ場合（等号が成立しない場合）は、その制約は束縛制約ではなく、最適性の観点からは一定の自由度を持っています。特に、凸最適化の文脈では、束縛制約でない制約は最適解の決定に直接影響を及ぼさないため、存在しなくてもよい場合があります。

もし指定された制約をすべて満たさない解が存在する場合、その問題は実行不可能とされます。

ハード制約とソフト制約

最適化問題において、制約が厳密に満たされなければならない場合、それを「ハード制約」と呼びます。一方で、全ての制約を必ずしも満たす必要がない場合、できる限り制約を満たすことが望ましいけれども必須ではない制約は「ソフト制約」と呼ばれ、このような問題は「フレキシブル制約充足問題」として知られています。ソフト制約に関する代表的な例としては、プレファレンスベースの計画分野が挙がります。

特定の問題では、最大制約充足問題という手法を用いて、制約違反を許容しつつ、満たされた制約の数を評価することが行われます。これにより、制約を緩和した形での解決策を模索できるのです。

まとめ

制約は最適化問題において重要な役割を果たし、解を特定するための基本的な条件を提供します。ハード制約とソフト制約の理解は、さまざまな最適化問題を解決する上で欠かせない知識です。

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