剰余体

剰余体 (Residue Field)

数学、特に可換環論の分野において、剰余体（じょうよたい、英: residue field）は、可換環から構成される基本的な体構造の一つです。環の極大イデアルを用いて定義され、代数幾何学におけるスキーム論で中心的な役割を果たします。スキーム上の各点に関連付けられる「座標体」とも見なすことができます。

定義

剰余体の定義は、文脈によっていくつかの視点があります。最も基本的な定義は、可換環 R とその極大イデアル m から得られる剰余環 R/m を指します。極大イデアルによる剰余環は常に体になるという環論の基本的な定理に基づいています。特に、R が極大イデアル m をただ一つだけ持つ局所環である場合、その剰余体はシンプルに R/m として与えられます。

より一般的に、代数幾何学においてスキーム X の点 x に関連付けられる剰余体 k(x) が定義されます。スキームの定義から、点 x はある可換環 A のスペクトル Spec(A) の開集合であるアフィン近傍 U に含まれると考えられます。U の点 x は、環 A のある素イデアル p に対応します。この点 x におけるスキーム X の局所環は、A の素イデアル p における局所化 `R = A_p` として定義されます。この局所環 `A_p` は極大イデアル `m = pA_p` を持つ局所環となります。したがって、点 x の剰余体 k(x) は、この局所環 `A_p` をその極大イデアル `pA_p` で割った剰余環として定義されます。すなわち、

`k(x) := A_p / pA_p`

となります。この定義は、点 x を囲むアフィン近傍 U の取り方に依存しないことが証明されています。

また、ある体 K が与えられたとき、点 x の剰余体 k(x) が体 K の部分体である、すなわち `k(x) ⊂ K` である場合、その点 x を K-有理点と呼びます。これは代数多様体の点における座標が、基礎体 K の元で「表示できる」という直観に対応します。

例

剰余体の概念を理解するために、体 k 上のアフィン直線 `A^1_k = Spec(k[t])` を考えましょう。`k[t]` は体 k 上の一変数多項式環です。このスキームの点は、多項式環 `k[t]` の素イデアルに対応します。

もし k が代数的閉体（例えば複素数体 C）であれば、`k[t]` の素イデアルは主に二種類あります。一つは、既約多項式 `t - a`（ただし `a ∈ k`）によって生成される極大イデアル `(t - a)` です。これに対応する点における局所環は `k[t]_{(t-a)}` であり、その極大イデアルは `(t-a)k[t]_{(t-a)}` です。この点の剰余体は `k[t]_{(t-a)} / (t-a)k[t]_{(t-a)}` であり、これは体 k と同型になります。
もう一つは、零イデアル `(0)` です。これは `k[t]` の素イデアルですが、極大イデアルではありません。これに対応する点（生成点と呼ばれます）における局所環は `k[t]_{(0)}` であり、これは k 上の一変数有理関数体 `k(t)` と同型になります。`k(t)` は体なので、これはそれ自身の剰余体となります。

もし k が代数的閉体でない場合（例えば実数体 R）、既約多項式は一次式だけでなく二次式なども存在します。例えば、実数体 R 上の `R[x]` を考えると、素イデアル `(x^2 + 1)` があります。これに対応する点の剰余体は `R[x]_{(x^2+1)} / (x^2+1)R[x]_{(x^2+1)}` であり、これは複素数体 C と同型になります。これは、実数の範囲では根を持たない `x^2 + 1 = 0` という方程式が、その点に対応する「座標体」である C 上では解を持つことを意味します。

性質

剰余体は、スキームの様々な幾何学的性質と深く結びついています。体 k 上の局所有限型のスキーム X を考えるとき、点 x の性質はしばしばその剰余体 k(x) の性質に反映されます。

点 x がスキーム X の閉点であることと、その剰余体 k(x) が基礎体 k の有限次拡大体であることは同値です。これは、代数多様体の点と座標環の極大イデアルの関係を示すヒルベルトの零点定理のスキーム論における表現の一つです。先のアフィン直線の例で言えば、素イデアル `(t-a)` に対応する点は閉点であり、その剰余体 k は k 自身の有限次拡大（次数1）です。一方、零イデアル `(0)` に対応する生成点は閉点ではなく、その剰余体 `k(t)` は k の無限次拡大です。
ある体 K からスキーム X への射 `Spec(K) → X` は、X 上の一点 x を指定することと、点 x の剰余体 `k(x)` から体 K への体拡大 `k(x) ⊂ K` を指定することに対応します。これは、体上の点の存在や構造を調べる際に重要な対応です。
体上の有限型のスキームのクルル次元（代数多様体の次元に対応する概念）は、そのスキームの生成点（対応する素イデアルが最小素イデアルである点）における剰余体の基礎体上の超越次数に等しくなります。

これらの性質から、剰余体はスキーム上の点の局所的な振る舞いや、スキーム全体の次元や構造を理解するための本質的な道具であることが分かります。

参考文献:

• - Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry*. Springer-Verlag, 1977.

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