極大イデアル

極大イデアルとは

環論において、「イデアル」はある種の性質を持った特別な部分集合です。その中でも極大イデアルは、環の構造を解析する上で重要な役割を果たします。環 R の極大左イデアルとは、環 R 以外の左イデアルのうち、包含関係において極大であるものを指します。言い換えれば、ある左イデアル I に対して、I を真に含む（I より真に大きい）左イデアルが R 自身以外に存在しないとき、I は極大左イデアルと呼ばれます。極大右イデアルや極大両側イデアルも同様に定義されます。

可換環においては、左イデアル、右イデアル、両側イデアルの区別はありません。したがって、可換環における極大イデアルは常に両側イデアルです。

存在性

環が零環ではなく単位元を持つ場合、これらの極大イデアル（左、右、両側）の存在は、集合論における重要な原理であるツォルンの補題を用いることで証明されます。特に、可換環における極大イデアルの存在は、クルルの定理として知られています。ただし、単位元を持たない環には極大イデアルが存在しない場合もあります。しかし、零元でない冪等元が存在すれば、極大左イデアルを持つことが知られています。

極大イデアルの性質

極大イデアルは様々な重要な性質を持ちます。

剰余環・剰余加群との関係: 環 R の両側イデアル I が極大であることと、その剰余環 R/I が単純環であることは同値です。特に可換環においては、イデアル I が極大であることと、剰余環 R/I が体になることは同値です。また、環 R の左イデアル I が極大であることと、剰余加群 R/I が単純加群であることも同値です。
素イデアルとの関係: 環の極大両側イデアルは常に素イデアルです。しかし、逆は一般的には成り立ちません。つまり、素イデアルであっても極大イデアルでない場合があります。
環準同型: 全射な環準同型による左極大イデアルの引き戻しは、やはり左極大イデアルとなります。しかし、準同型が全射でない場合には、この性質は成り立ちません。
特定の環での性質: 単項イデアル整域（体ではない場合）において、零元でない素イデアルはすべて極大イデアルになります。また、アルティン環においては、すべての素イデアルが極大イデアルとなります。
極大イデアルの個数: 可換アルティン環は、有限個の極大イデアルしか持ちません。

具体的な例

いくつかの環における極大イデアルの例を挙げます。

整数環 Z: 整数環 $\mathbb{Z}$ の極大イデアルは、ある素数 p によって生成されるイデアル $(p) = p\mathbb{Z}$ の形をしています。逆に、任意の素数 p に対して、イデアル $(p)$ は極大イデアルです。
単項イデアル整域: 一般の単項イデアル整域（PID）においても、零元でない素イデアルはすべて極大イデアルとなります。
多項式環: 体 k 上の多変数多項式環 $k[x_1, \dots, x_n]$ において、極大イデアルは $(x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ の形をしています。ここで $a_1, \dots, a_n$ は代数的閉体 k の元です。これは弱い零点定理として知られています。整数係数多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ の極大イデアルは、素数 p と、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上既約な多項式 f によって生成されるイデアル $(p, f)$ の形をとります。
* 行列環: 体 k 上の2次下三角行列全体のなす環 $T_2(k) = \begin{bmatrix} k & 0 \\ k & k \end{bmatrix}$ には、二つの極大左イデアルが存在します。それらは $I = \begin{bmatrix} k & 0 \\ k & 0 \end{bmatrix}$ と $J = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ k & k \end{bmatrix}$ です。

関連概念

加群論においては、極大部分加群という概念があります。これは、環 R 上の加群 M の真の部分加群のうち、包含関係に関して極大であるものを指します。環 R を正則加群 ${}_R R$ とみなすと、その極大部分加群は環 R の極大左イデアルに他なりません。すべての加群に極大部分加群が存在するわけではありませんが、零元でない有限生成加群には必ず存在します。

これらの概念は、抽象代数学、特に環論や加群論において、環や加群の内部構造を深く理解するために不可欠です。局所環のように、唯一の極大左イデアルを持つという性質で定義される環もあります。

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