劣調和函数

劣調和函数と優調和函数

概要

劣調和函数（subharmonic function）と優調和函数（superharmonic function）は、数学において重要な役割を持つ特殊な函数のクラスです。これらは特に偏微分方程式、複素解析、ポテンシャル論などで幅広く利用されています。これらの函数の理解は、様々な数学的構造や理論を展開する基盤となります。

劣調和函数の定義

劣調和函数は、一般に上半連続関数として定義されます。具体的には、ユークリッド空間の部分集合Gを持ち、Gに含まれる任意の点xと半径rで構成される閉球体B(x, r)上で、他の実数値連続関数hが調和的で、またB(x, r)の境界上で任意の点yに対してφ(y) ≤ h(y)が成立するならば、B(x, r)の内部でもφがhより大きくならない場合、φは劣調和であるとされます。この定義は、−∞に恒等的な関数も劣調和の一種とみなすことができますが、この場合は一部の研究者によって除外されることもあります。

優調和函数の位置付け

優調和函数は、劣調和函数の負であることから定義されます。したがって、劣調和函数の特性は優調和函数に対する対応関係を持ち、互いの性質をスムーズに指導することができます。

性質

数学的には、調和函数であるための必要十分条件は、劣調和的かつ優調和であることです。また、関数がC²級（2回連続的に微分可能）であれば、その劣調和性はラプラシアンΔφ ≥ 0が成り立つことによっても示されます。特筆すべきは、非定数の劣調和函数の最大値はその定義域の内部では達成されないこと（これが最大値原理に相当する）です。一方で、最小値は内部で達成される可能性があります。

複素平面における劣調和函数

複素解析の分野において、劣調和函数は特に重要です。複素数の引数zを中心とし、半径rの閉円板上での値よりも、その点での劣調和函数の値が大きくならないという性質が、複雑な理論の構築に寄与します。とりわけ、正則函数の対数やその上に定義される操作の結果として現れる関数は劣調和的であり、これまでの多くの研究で使用されています。

リーマン多様体における劣調和函数

リーマン多様体においても劣調和函数の概念は拡張されます。開部分集合上の調和函数が境界で劣調和函数以上の値を持つ時、全体でも劣調和が成立するという定義が成り立ちます。これにより、より一般的な空間における劣調和性の理論が確立されます。

結論

劣調和函数と優調和函数の研究は、数学の多くの分野において重要性を持っています。これらの関数の特性や相互関係を理解することは、より深い数学的理解を得るための鍵となります。今後もこれらの性質を活用した研究が、人間の理解を深めていくことでしょう。

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