半単純リー代数

リー代数の半単純性について

数学において、リー代数が「半単純」であるという概念は、基本的にそのリー代数が単純リー代数の直和で構成されているという意味を持ちます。ここで、単純リー代数とは、自身と零以外にイデアルを持たないような非可換リー代数のことを指します。この半単純性の概念は、特に標数0の体上の有限次元リー代数について考える際に重要です。

半単純性の条件

一般に、リー代数 $
mathfrak{g}$ が半単純であるための条件は、以下の全てが同値であるとされます：

1. $
mathfrak{g}$ は半単純である。
2. キリング形式 κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)) が非退化である。
3. $
mathfrak{g}$ が非零の可換イデアルを持たない。
4. $
mathfrak{g}$ が非零の可解イデアルを持たない。
5. $
mathfrak{g}$ の根基（最大可解イデアル）が0である。

このような特性は、半単純リー代数の本質を示す重要な指標です。

半単純リー代数の例

代表的な半単純リー代数の例として、ディンキン図形に基づく分類による以下のものがあります：

• - An: $

mathfrak{sl}_{n+1}$（特殊線形リー代数）

• - Bn: $

mathfrak{so}_{2n+1}$（奇数次元特殊直交リー代数）

• - Cn: $

mathfrak{sp}_{2n}$（斜交リー代数）

• - Dn: $

mathfrak{so}_{2n}$（偶数次元特殊直交リー代数）

これらのリー代数は、nをランクとして番号付けされており、一般にこれらの多くは単純リー代数であると認識されています。特に、これらの四つの族に加えて、五つの例外型（E6、E7、E8、F4、G2）があり、複素数体上の全ての単純リー代数がこれによって網羅されます。

分類の意義

代数閉体上の半単純リー代数は、定義により単純リー代数の直和とされ、これは数学的な美しさを持つ結果とされています。単純リー代数は、連結のディンキン図形に基づく形式で分類されることが多く、これは半単純リー代数の分類にも適用されます。この分類過程はカルタン部分代数（最大可換リー代数）とその随伴表現を検討することによって進行します。

このような単純リー代数の分類は、数学において極めてエレガントな成果の一つと見なされており、簡潔な公理に基づく短い証明のもとで展開され、多様なリー代数の構造を明らかにしています。

歴史

半単純リー代数の概念は、1888年から1890年の間にヴィルヘルム・キリングによって初めて分類されましたが、その証明は不完全でした。1894年、エリ・カルタンはキリングの証明を厳密化し、さらに半単純実リー代数の分類も行いました。1947年には、ユージン・ディンキンにより、現在用いられるディンキン図形による分類が確立されました。

性質

半単純リー代数の持つ重要な特性として、全ての有限次元表現が完全可約であるというものがあります。これはワイルの完全可約性定理として知られ、半単純性の帰結です。ただし、半単純リー代数の無限次元表現は必ずしも完全可約とは限りません。

また、半単純リー代数の中心は可換イデアルであるため、半単純である場合その中心はゼロになります。例えば、$
mathfrak{gl}_n$は非自明な中心を持つため半単純ではありません。さらに、半単純リー代数上の微分からなるリー代数 $
mathfrak{Der}(
mathfrak{g})$ は $
mathfrak{g}$ と同型となり、これはホワイトヘッドの補題の特別な場合です。

ジョルダン分解

半単純リー代数においては、任意の元についてジョルダン分解が存在し、これがその表現にも反映されます。特に、対角化可能部分と冪零部分への分解が独自に与えられ、これは任意の表現に対しても適用可能です。具体的には、ある元 $x$ に対し、その随伴写像における像のジョルダン分解が得られます。

結論

半単純リー代数の存在とその構造は、数学の多くの分野に渡る深い影響を持つ重要なテーマです。今後の研究は、そのより一般的な拡張や他の数学的対称性との関連において、新たな発見をもたらすことが期待されます。

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