直和

数学における直和

数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て、同じ種類の新たな対象を生成する操作です。歴史的な経緯から、対象の種類によって少しずつ異なる意味で使用されますが、大まかには集合論的、代数学的、圏論的な用法に分類できます。

さらに、直和を考える際、対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そうでない場合（外部直和、構成的直和）を区別することがあります。これらの区別は、記述上は大きく異なることがありますが、理論的には自然な同型によって関連付けられ、区別せずに扱われることもあります。この同型は、多くの場合、圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができます。

直和を表す記号としては、⊕ や ∐ などが用いられます。

集合論的直和

集合論的直和は、互いに交わらない（共通部分が空である）集合の合併（非交和、英: disjoint union）として定義されます。例えば、ある位相空間の部分集合において、内部、境界、外部の和は直和となります。

二つの集合AとBが、共に一つの集合の部分集合である場合、一般的には交わりがあるため、単純な合併では直和になりません。このような場合は、各要素の出自を示す符牒を与えた上で合併を行います（識別和）。例えば、AやBに属さない記号「」を用いて、A = A ∪ {}、B = {} ∪ Bを考えます。このとき、埋め込み

A → A × B; a ↦ (a, )

B → A × B; b ↦ (, b)

によって、A × Bの部分集合と見なされたAとBは交わりを持たなくなります。この埋め込み像をAとBと表記すると、AとBの和集合A∪Bが、AとBの直和となり、A ⊔ B などと書かれます。誤解の恐れがない場合は、AとA、BとBを同一視して区別しないこともあります。

代数学的直和

代数学的直和は、同じ種類の代数系からなる族の直積の部分空間に、それぞれの代数系の演算構造を成分ごとに定義することで得られます。

有限個の直和

例えば、有限個のベクトル空間W1, …, Wnの直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに定義したベクトル空間Wを、W1, …, Wnの（外部）直和といい、W = W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn と表します。

また、ベクトル空間Vの部分空間W1, …, Wnが

Wi ∩ Σ(j≠i) Wj = {0}

を満たすとき、それらの和空間W = W1 + ⋯ + Wnを部分空間W1, …, Wnの（内部）直和といいます。この場合も、直和であることを明示するために、しばしばW = W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wnと表されます。内部直和は外部直和と同型です。

内部直和W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wnのベクトルは、W1, …, Wnのベクトルの和として一意的に表すことができ、その次元はそれぞれの次元の和に等しくなります。

任意個の直和

必ずしも有限個でない場合の直和は、以下のように定義されます。例えば、任意の環上の加群の族{Mi}i∈Iに対して、その直積

∏(i∈I) Mi

に含まれる元のうち、有限個の成分を除いて全て加法単位元0であるようなもの全体の集合を考えます。元の間の演算を

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I

a(xi)i∈I = (axi)i∈I (aは環の元)

と定義すると、この集合は加群になります。これを加群の族{Mi}i∈Iの直和と呼びます。この定義から作用を無視すれば、自然にアーベル群の直和が得られます。

ある加群の任意の元が、部分加群{Mi}の元の有限和として一意的に表せる場合、この加群は{Mi}の直和と同型になります。このようにして構造的に定義することもできます。既述の定義を構成的と呼ぶこともあります。

ベクトル空間と同様に、直和加群の長さは、それぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になります。

圏論的直和

圏論における直和（英: coproduct; 余積、双対直積）は、直積 (product) の双対概念であり、以下の普遍性を持つ対象Aを指します。

直和の普遍性

対象の族{Aλ}λ∈Λを考えます。このとき、対象Aと射iλ: Aλ → Aが存在し、任意の対象Xと写像fλ: Aλ → Xに対し、

fλ = f ∘ iλ

を満たすf: A → Xがただ一つ存在します。

集合の圏では、この圏論的な定義における直積・直和と、上で述べた集合の直積・直和の概念は一致します。しかし、一般にはそうとは限りません。

例えば、

単位元を持つ可換環の圏における直和は、環のテンソル積であり、上で述べた環の直和は圏論的直積となります。
群の圏における直和は、群の自由積と呼ばれます。
アーベル群の圏では、直和は「直和」であり、直積は「直積」です。この場合、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定め、双積と呼ばれます（環上の加群の圏も同様です）。

直和は、数学の様々な分野で重要な役割を果たす概念です。その定義や性質を理解することで、より深く数学を理解することができるでしょう。

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