単約数

単約数（Unitary Divisor）

概要

単約数とは、自然数 a が b の約数で、かつ a と b/a が1より大きい公約数を持たずに互いに素であることを指します。通常、a が b の単約数である場合、b の約数は、すべての素因数が同じ重複度を持っている必要があります。この概念は1931年にR. Vaidyanathaswamyによって提唱され、当初は「block divisor」と呼ばれていました。

具体例

例えば、5は60の単約数です。なぜなら、5と60の商である12の公約数は1だけだからです。一方で、6は60の約数ではありますが、単約数ではありません。これは6と60の商である10が1以外の公約数2を持つためです。

単約数の和

単約数の和を求める関数はギリシャ文字のシグマを用いて表記され、σ(n)と呼ばれます。この関数は、次のように定義されます：
$$\sigma_{k}^{}(n) = \sum_{d \mid n \atop \gcd(d, n/d) = 1} d^{k}$$
ここで、dはnの全ての単約数を指します。

単約数の和がその数と等しい場合、その数は単完全数と呼ばれます。

性質

1は全ての自然数の単約数です。
また、ある数nの単約数の個数は、nの異なる素因数の個数kに応じて2^k個であるという特性があります。これは、各整数Nが異なる素数の正のべき乗の積として表せるためです。

さらに、nの単約数の和に関して、nが2の冪乗である場合は和が奇数、それ以外の場合は偶数になります。単約数の個数や和を計算する関数は乗法的ですが、完全乗法的関数ではありません。

また、ディリクレ級数と呼ばれる数列の関係も存在し、様々な数理的な発見をもたらしています。

奇単約数

奇数の単約数のk乗和は、次のように表現されます：
$$\sigma_{k}^{(o)*}(n) = \sum_{d \mid n \atop d \equiv 1 \pmod{2} \atop \gcd(d, n/d) = 1} d^{k}$$
この概念も乗法的であり、ディリクレ級数の関係が成り立ちます。

重単約数

nの約数dが二重単約数であるためには、dとn/dの最大公約数が1でなければなりません。この概念はD. Suryanarayanaによって導入されました。二重単約完全数は、自己を除く二重単約数の和がその数と等しいことが定義です。具体的な例としては、6、60、90などがあります。

一般化

単約数の考え方はさらに一般化されており、k重単約数や無限重単約数の概念も存在します。k重単約数は、dとn/dの最大(k-1)単約数が1であることによって定義され、無限重単約数は、任意の素因数分解において特定の条件を満たすことが必要です。

結論

単約数は、自然数の約数における特別な性質を持つ数のクラスであり、多くの数理的問題に関連する重要な概念です。さまざまな数学の分野で応用されるこの概念を深く理解することは、数論や整数の性質を探求するうえで非常に有意義です。

もう一度検索