単純環

単純環とは

数学、特に環論において、単純環とは、非可換環を含む一般的な環 R であって、自明な両側イデアル（0 と R 自身）のみを持つものを指します。ここで、環は 1 ≠ 0 を満たすものとします。

単純環の構造定理

単純環は、その構造に関して興味深い性質を持ちます。特に重要なのは、単純環が左アルティン的であれば、それは右アルティン的でもあるという点です。このとき、単にアルティン的単純環と呼びます。

アルティン・ウェダーバーンの定理

アルティン的単純環は、アルティン・ウェダーバーンの定理によって完全に分類されます。この定理によれば、アルティン的単純環は、ある可除環上の全行列環と同型になります。これは、単純環の構造を理解する上で非常に強力なツールとなります。

より詳しく述べると、単純環 R について、以下の条件はすべて同値です。

1. R は左アルティン的である。
2. R は半単純である。
3. R は極小左イデアルを持つ。
4. R は、ある自然数 n とある可除環 D について、Mn(D)（D 上の n × n 行列環）と同型である。

一般の単純環

R が一般的な単純環である場合、任意の 0 でない左イデアル I に対して、自己準同型環 End(RI)（右からの作用を考える）を D とすると、R と End(ID) は自然に同型になります（後者は左からの作用を考える）。

まとめ

単純環は、環論において基本的な概念であり、その構造はアルティン・ウェダーバーンの定理によって深く理解されています。単純環の研究は、より複雑な環の構造を解析するための基礎となります。

参考文献

* Lam, T. Y. (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate texts in mathematics. 131 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-8616-0.

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