双対位相

双対位相 (Dual Topology)

関数解析学をはじめとする数学の分野において、「双対位相」とは、特定の構造を持つ二つのベクトル空間の対、すなわち「双対組」に対して定義される局所凸な位相のことです。

双対組とは

双対組とは、二つのベクトル空間 $X$ と $Y$ および、それらの間の双線型形式 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ から成る構造 $(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ を指します。このとき、空間 $Y$ の各要素 $y$ は、空間 $X$ 上の線型汎関数 $x \mapsto \langle x, y \rangle$ を誘導します。双対組であるということは、この対応によって $Y$ が $X$ の代数的双対空間（全ての線型汎関数の空間）のある部分空間と見なせ、逆にある条件を満たすような関係性が成り立つことを意味します。

双対位相の定義

このような双対組 $(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ が与えられたとき、空間 $X$ 上の局所凸位相 $\tau$ が「双対位相」であるとは、その位相 $\tau$ に関する空間 $X$ の連続双対空間 $(X, \tau)'$ が、双対組のもう一方の空間 $Y$ と線型同型である、という条件を満たすことを言います。具体的には、空間 $Y$ から $(X, \tau)'$ への写像 $\Psi: Y \to (X, \tau)'$ で、$y \in Y$ に対して $\Psi(y)$ が $X$ 上の汎関数 $x \mapsto \langle x, y \rangle$ として定義されるものが、線型同型写像となる必要があります。つまり、双対位相 $\tau$ は、双対組の双線型形式 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ によって誘導される線型汎関数が連続となるような局所凸位相の中でも、その連続汎関数全体が $Y$ と過不足なく対応する（全単射となる）ような位相なのです。

連続双対を持つ任意の局所凸空間は、それ自身の連続双対との間に自然な双対組を形成します。このような空間に与えられている局所凸位相は、定義から明らかに双対位相となります。

双対位相の性質

興味深い性質として、ある双対組が与えられたとき、それに属するどのような双対位相を選んだとしても、その位相に関する空間の有界集合は常に一致するというマッキーの定理があります。同様に、樽型集合と呼ばれる重要な集合クラスも、どの双対位相を選んでも変わらないことが知られています。これらの性質は、特定の位相的概念が、具体的な位相の選択によらず、双対組の構造そのものに依存することを示しており、しばしばより単純な双対位相を使ってこれらの性質を調べることが可能であることを意味します。

双対位相の特徴付け：マッキー＝アレンスの定理

特定の双対組に対しては、複数の異なる双対位相が存在し得ますが、それらはすべてマッキー＝アレンスの定理によって統一的に捉えられ、特徴付けられます。

マッキー＝アレンスの定理は、局所凸空間 $X$ とその連続双対 $X'$ から成る双対組 $(X, X')$ が与えられたとき、空間 $X$ 上の局所凸位相 $\tau$ が双対位相であるための必要十分条件を示しています。この定理によれば、$\tau$ が双対位相であることは、空間 $X$ の連続双対空間 $X'$ の特定の種類の部分集合族上での一様収束によって定義される位相であることと同値です。具体的には、$\tau$ は、$X'$ 内の絶対凸かつ弱コンパクトな部分集合の族に関して定義される一様収束位相となります。

この定理はさらに、特定の双対組に対して存在する双対位相の中でも、「最も粗い」（開集合が最も少ない）位相と、「最も細かい」（開集合が最も多い）位相を特定します。

最も粗い双対位相は弱位相 (weak topology) と呼ばれ、これは連続双対空間 $X'$ のすべての有界部分集合に関する一様収束によって定義される位相です。
最も細かい双対位相はマッキー位相 (Mackey topology) と呼ばれ、これは $X'$ のすべての弱コンパクト部分集合に関する一様収束によって定義される位相です。

マッキー＝アレンスの定理は、局所凸空間上の双対位相の全体構造を明らかにし、異なる双対位相がどのような関係にあるかを理解する上で極めて重要な役割を果たします。

双対位相は、関数解析学における空間の構造や連続性の概念をより深く理解するための基礎となる重要な概念です。

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