双有理幾何学

双有理幾何学

代数幾何学における双有理幾何学は、二つの代数多様体が、ある特別な低次元部分を除いた領域において互いに「同型」であるかどうかを判断することを主要な目標としています。この研究は、多項式によって定義される通常の写像（射）ではなく、有理関数を用いて定義される写像を分析することに焦点を当てます。有理関数は、分母がゼロとなる点で定義されない場合があるため、このような写像は定義域全体で定義されるとは限りません。

有理写像と双有理写像

代数多様体Xから別の多様体Yへの有理写像は、しばしばダッシュ付きの矢印 `X --→ Y` で表されます。これはXの空でない開集合U（ザリスキ位相においては、Xの低い次元の部分集合の補集合）からYへの射として定義されます。具体的には、有理写像は局所的に有理関数によって座標で記述できます。

XからYへの双有理写像とは、有理写像 `f: X → Y` であって、その逆写像 `Y → X` もまた有理写像となるものを指します。このような写像が存在するとき、XとYは双有理（または双有理同値）であるといいます。双有理写像は、Xの空でない開集合とYの空でない開集合の間の同型写像を誘導します。より代数的な観点からは、体k上の二つの多様体が双有理同値であることは、それらの多様体の関数体（定義関数体の拡大体）がk上同型であることと同等です。

双有理写像が多様体全体で定義された射である特別なケースも存在します。しかし、逆写像は必ずしも全体で定義されるわけではありません。これは、双有理写像が多様体の特定の部分多様体を相手の多様体の一点に縮退させることがあるためです。

有理的多様体

多様体Xがある次元のアフィン空間（あるいは射影空間）と双有理同値であるとき、その多様体は有理的であるといいます。有理性は、低次元の部分集合を取り除けば、アフィン空間（から低次元集合を取り除いたもの）と同一視できるという、直感的にも理解しやすい性質です。

例えば、方程式 `x² + y² - 1 = 0` で定義される円は有理曲線です。これは、パラメータ表示 `x = 2t/(1+t²)`、`y = (1-t²)/(1+t²)` がアフィン直線からこの円への双有理写像を定義するからです。逆写像は、点(x, y)を `(1 - y) / x` に対応させます。

より一般的には、任意の次元の滑らかな二次超曲面は、立体射影を用いることで有理的であることが示されます。立体射影は、超曲面上の特定の点pを固定し、超曲面上の点qをpとqを結ぶ直線に射影することで定義される双有理写像です。しかし、この写像は点p自身では定義されないため、多様体全体の同型ではありません。

双有理分類と極小モデル

全ての代数多様体は射影多様体に双有理同値であるため、双有理幾何学においては射影多様体を考察の対象とするのが一般的で便利です。

標数0の体上の多様体については、広中平祐氏の特異点解消定理により、全ての多様体は滑らかな射影多様体に双有理同値であることが知られています。これにより、滑らかな射影多様体を双有理同値の観点から分類することが主要な課題となります。

次元1の場合、二つの滑らかな射影曲線が双有理同値ならば、それらは必ず同型です。しかし、次元が2以上になると、ブローアップと呼ばれる構成により、双有理ではあるが同型ではない、いわば「より大きい」多様体が無限に生成されるため、この単純な関係は成り立ちません。

この状況から、双有理同値類の中で「最も小さい」標準的な多様体を見つけようという極小モデルの考え方が生まれます。現代的な定義では、射影多様体Xが極小であるとは、その標準ラインバンドルKXがネフである（全ての曲線上で非負の交点数を持つ）ことと定義されます。ブローアップされた多様体は決して極小ではありません。

次元2の多様体（曲面）に対しては、極小モデルの理論は完全に成り立ちます。19世紀末から20世紀初頭にかけてのイタリア学派の研究により、全ての曲面Xは、積空間 P¹×C（Cはある曲線）か、または極小曲面Yのいずれかに双有理同値であり、後者の場合、Yは一意に定まりXの極小モデルと呼ばれることが示されました。

次元3以上では、標準ラインバンドルKXが良い性質を持つように、ある種の特異点（標準特異点）を持つ極小多様体を考える必要があります。

極小モデル予想（MMP）は、全ての多様体は有理曲線で被覆されるか、または極小多様体Yに双有理同値であろう、というものです。Yが存在する場合、それはXの極小モデルと呼ばれます。次元3の場合は森重文氏によって証明されました。一般次元での予想は未解決ですが、大きな進展があり、標数0の体上の一般型の多様体は極小モデルを持つことが証明されています。次元3以上の極小モデルは一般には一意ではありませんが、非常に近い存在であり、特定の変換（フロップ）によって関連づけられます。MMPは代数多様体の双有理分類に強力な情報を提供します。

双有理不変量

多様体が有理的でないことを示すためには、双有理写像によって不変であるような量が役立ちます。このような量を双有理不変量といいます。

重要な双有理不変量の一つに多重種数があります。次元nの滑らかな多様体Xの標準バンドルKXは、余接バンドルのn次の外積として定義されます。非負整数dに対し、KXのd番目のテンソル積KXᵈの大域的切断空間 H⁰(X, KXᵈ) の次元をd番目の多重種数Pdと定義します。滑らかな射影多様体間の双有理写像は、これらの空間の同型を誘導するため、多重種数は双有理不変量となります。特に、あるd>0に対してPdがゼロでないならば、その多様体は有理的ではありません。

多重種数Pdのdを無限大にしたときの増大度を測る小平次元は、基本的な双有理不変量であり、次元nの多様体をn+1個のタイプ（小平次元 -∞, 0, 1, ..., n）に分類します。射影空間は小平次元-∞であり、最も複雑な多様体は小平次元nを持つ一般型多様体と呼ばれます。

他にも、余接バンドルΩ¹のテンソル積の和から得られる大域的切断空間 H⁰(X, E(Ω¹)) や、ホッジ数 hr⁰ = dim H⁰(X, Ωʳ) （他のホッジ数hpqは一般に双有理不変量ではありません）、滑らかな複素射影多様体の基本群 π₁(X) などが双有理不変量として知られています。

2002年に証明された「弱分解定理」は、滑らかな複素射影多様体間の任意の双有理写像が、ブローアップとブローダウンの有限回操作の列に分解できることを示しました。しかし、これは二つの多様体が双有理であるかどうかの判定が容易であることを意味するわけではありません。

単線織多様体とファノ多様体

有理曲線によって被覆される多様体は単線織的と呼ばれ、これらは極小モデルを持ちません。しかし標数0の場合、単線織多様体はファノファイバー空間に双有理同値であることが示されています。ここから、ファノファイバー空間、特にファノ多様体の双有理分類が重要になります。ファノ多様体は、その反標準バンドル KX* が豊富である射影多様体と定義され、射影空間に最も「近い」タイプの多様体と考えられます。

次元2の場合、代数的閉体上の全てのファノ多様体（デル・ペッソ曲面）は有理的です。しかし、次元3になると状況は異なり、有理的でないファノ多様体が存在します。例えば、滑らかな3次多様体や滑らかな4次3次元多様体は有理的でないことが知られています。ファノ多様体が有理的であるかどうかを決定する問題は、依然として難しい課題です。

双有理自己同型群

代数多様体がどれだけ多くの双有理自己同型を持つかは、その多様体の性質を示す重要な指標です。一般型の多様体は「剛性」が高く、その双有理自己同型群は有限群です。一方、体k上の射影空間Pⁿの双有理自己同型群はクレモナ群 Crⁿ(k) として知られており、n≥2の場合には非常に大きな（ある意味で無限次元の）群となります。特に、次元2の複素クレモナ群Cr²(C)は、P²の自己同型群PGL(3,C)と基本的な「二次変換」によって生成されることが示されています。対照的に、次元n≥3のクレモナ群の構造は未だ多くが謎に包まれています。

滑らかな4次3次元多様体の双有理自己同型群が有限の自己同型群と一致することは、その多様体が有理多様体とは対照的に「双有理剛性」を持つことを示しています。この双有理剛性は、多くのファノファイバー空間で観察される現象です。

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