基本群

基本群とは

数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群とは、位相空間の「穴」を代数的に記述する概念です。具体的には、ある固定された点を始点と終点とするループ（閉じた道）が、互いに連続的に変形できるかどうかを調べ、その変形可能性に基づいて群構造を定義します。この群は位相空間の重要な不変量であり、空間の性質を研究する上で不可欠なツールです。

直感的な説明

位相空間（例えば、曲面）上の1点を固定し、その点を始点と終点とするループを考えます。このとき、2つのループを連続的に変形して一致させることができる場合、それらは同値であるとみなします。すべてのループの集合に対し、ループの結合（一方のループを通った後、もう一方のループを通る）と、同値関係を定義することで、基本群と呼ばれる群が構成されます。この群の構造を調べることで、元の位相空間が持つ「穴」に関する情報を得ることができます。

定義

位相空間 X と、その中の点 x₀ を考えます。x₀ を基点とするループとは、区間 [0,1] から X への連続写像 f であって、f(0) = x₀ = f(1) を満たすものです。

X の基本群は、これらのループをホモトピーという概念で割った同値類の集合です。ホモトピーとは、2つのループを連続的に変形できる関係のことです。基本群の元は、ループのホモトピー同値類であり、2つのループ f と g の積は、まず f を「2倍の速度」でたどり、次に g を「2倍の速度」でたどるループとして定義されます。この積は、代表元の取り方に依らないことが保証されます。

この操作によって、基点 x₀ における X の基本群 π₁(X, x₀) が得られます。単位元は基点に留まる定数写像であり、ループ f の逆元は f を逆向きに進むループとして定義されます。基本群は、基点の選び方に依存しますが、空間が弧状連結であれば、群の同型を除いて基点の選択は影響しません。

例

自明な基本群

n次元ユークリッド空間 Rⁿ や Rⁿ 内の任意の凸集合は、すべてのループが一点に縮むことができるため、自明な基本群を持ちます。このような空間を単連結空間と呼びます。

無限巡回群となる基本群

円 S¹ の基本群は、整数群 Z と同型です。これは、円を何回か巻くループが、整数によって区別されることに対応します。

高次ランクの自由群

8の字の基本群は、2つの生成元から生成される自由群です。より一般に、グラフの基本群は自由群となります。n 個の穴のあいた平面の基本群も、n 個の生成子を持つ自由群です。

結び目理論

三葉結び目の補空間の基本群は、非可換な群として知られています。このように、基本群は空間の複雑さを反映することができます。

関手性

連続写像 f : X → Y は、X の基本群 π₁(X, x₀) から Y の基本群 π₁(Y, f(x₀)) への群準同型を誘導します。この対応は関手であり、基本群は位相空間の圏から群の圏への関手とみなすことができます。また、ホモトピー同値な空間は同型な基本群を持ちます。

ファイブレーション

ファイブレーションとは、空間を「ツイストした積」とみなす概念です。ファイブレーション F → E → B において、F が単連結ならば π₁(B) と π₁(E) は同型です。また、E が可縮ならば πₙ₊₁(B) と πₙ(F) は同型です。

1次のホモロジー群との関係

基本群 π₁(X, x₀) から1次のホモロジー群 H₁(X) への自然な準同型が存在します。X が弧状連結であれば、この準同型は全射であり、H₁(X) は π₁(X, x₀) のアーベル化と同型です。

普遍被覆空間

位相空間 X が弧状連結で局所弧状連結かつ局所単連結ならば、X の普遍被覆空間が存在します。普遍被覆空間とは、X を「覆う」単連結な空間であり、基本群 π₁(X, x₀) は被覆変換群として作用します。

例

円 S¹ の普遍被覆空間は直線 R であり、π₁(S¹) = Z です。
トーラス T = S¹ × S¹ の普遍被覆空間は平面 R² であり、π₁(T) = Z² です。
n次元実射影空間 Pⁿ(R) (n ≥ 2) の普遍被覆空間は n次元球面 Sⁿ であり、π₁(Pⁿ(R)) = Z₂ です。

単体複体の辺ループ群

単体複体 X の辺ループ群 E(X, v) は、その幾何学的実現 |X| の基本群 π₁(|X|, v) と同型です。辺ループ群は、生成元と基本関係を用いて明示的に記述することができます。

実現性

任意の群は、2次元以上の連結なCW複体として実現することができます。また、任意の有限表示群は、4次元以上のコンパクトな連結微分可能多様体の基本群として実現できます。

関連概念

ホモトピー群: 基本群を一般化した概念で、高次元の「穴」を捉えます。
ループ空間: 基点を保つループ全体の集合で、位相空間として研究されます。
ループ群: 位相群におけるループの集合に、各点での積を導入したものです。
基本亜群: 基点を固定せず、空間内のすべての道のホモトピー類を考える概念です。

まとめ

基本群は、位相空間の基本的な性質を捉える強力なツールであり、代数トポロジーにおける重要な概念です。位相空間の分類や、幾何学的な性質の研究に不可欠な役割を果たしています。

参考文献

Ronald Brown, Topology and groupoids
Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology
Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology
Allen Hatcher, Algebraic Topology
Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory
Richard Maunder, Algebraic Topology
Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups
James Munkres, Topology
Herbert Seifert and William Threlfall, A Textbook of Topology
Edwin Spanier, Algebraic Topology
André Weil, On discrete subgroups of Lie groups

関連項目

ホモトピー群
エタール基本群
軌道体の基本群

外部リンク

Fundamental group - PlanetMath.org
Fundamental groupoid - PlanetMath.org
Weisstein, Eric W. "Fundamental group". mathworld.wolfram.com
Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem
Animations to introduce to the fundamental group by Nicolas Delanoue

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