双正則写像

双正則写像とは、数学の一分野である複素解析学や複素代数幾何学において、二つの複素空間や複素多様体の間に存在する特別な関係を示す写像のことです。これは、複素的な構造を保ったまま、一方の空間を他方の空間へと完全に写し替える「同型写像」と見なすことができます。

より具体的に定義すると、ある複素的な領域から別の複素的な領域への関数が双正則写像であるためには、以下の三つの条件を同時に満たす必要があります。

1. 正則であること: 写像自身が、複素変数に対して微分可能な、滑らかな関数であること。
2. 全単射であること: 写像が1対1の対応であり、かつ写像先の全ての点が写像元の何らかの点に対応していること。これは、写像によって情報が失われたり、写像先に抜けが生じたりしないことを意味します。
3. 逆写像も正則であること: 写像によって対応づけられた逆向きの写像、すなわち写像先から写像元への逆写像もまた、正則関数であること。

特に、n次元複素空間 $\mathbb{C}^n$ の開部分集合 $U$ から $V$ への写像 $\varphi: U \to V$ が双正則写像であるとは、$\varphi$ が正則かつ全単射であり、その逆写像 $\varphi^{-1}: V \to U$ も正則である場合を指します。この概念は、より抽象的な対象である複素多様体間の写像にも拡張して適用されます。

双正則写像の興味深い性質の一つとして、単射な正則写像であれば、その逆写像が正則であることは自動的に導かれる、という定理が存在します。したがって、実質的には「単射かつ正則であり、その像が双正則同値となる写像」を双正則写像と定義することも可能です。

二つの複素領域 $U$ と $V$ の間に双正則写像が存在する場合、これらの領域は「双正則同値（biholomorphically equivalent）」である、あるいは単に「双正則（biholomorphic）」であると言われます。双正則同値性は、複素解析的な性質を共有する空間のクラスを定義する重要な概念です。

この双正則写像や双正則同値性の概念は、領域が何次元の複素空間にあるかによって、その性質が劇的に変化します。

次元が1の場合、すなわち複素平面 $\mathbb{C}$ 内の領域については、「リーマンの写像定理」という非常に強力な結果があります。この定理によれば、複素平面内の空でない真の開部分集合で、穴が開いていない（単連結な）ものは、すべて単位円板（原点を中心とする半径1の円の内部）と双正則同値になります。これは、1次元の単連結な複素領域が、双正則写像という視点からは、本質的にすべて同じであるかのように振る舞うことを示しています。

しかし、次元が2以上になると、状況はまったく異なってきます。1次元のような普遍的な対応関係は、ほとんど存在しません。例えば、n > 1 の場合の単位球（多次元空間での球の内部）と、単位多重円板（各座標の絶対値が1未満である点の集合）は、位相的には同じ形をしていますが、双正則写像が存在しないことが知られています。これは、これらの領域が持つ複素的な幾何構造が、高次元では本質的に異なることを示唆しています。

高次元複素解析学において、双正則写像の存在や性質を調べることは、多様な領域や多様体の複素的な構造を分類・理解するための根幹をなす研究テーマの一つであり、現在も活発に研究されています。

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