双複素数

双複素数とテッサリン：複素数の拡張と数体系の歴史

双複素数とテッサリンは、実数と虚数単位を拡張した数体系であり、代数学、特に超複素数論において重要な概念です。どちらも複素数を拡張した体系ですが、その定義や歴史的背景に違いがあります。本稿では、これらの数体系の定義、性質、歴史、そして多項式方程式の解について解説します。

双複素数の定義と性質

双複素[数]]は、ケーリー・ディクソン構成法を用いて定義される数体系です。具体的には、複素数の順序対(w, z)として表現され、その共役は(w, -z)で与えられます。二つの双複素[[数]と(w, z)の積は、(uw - vz, uz + vw)と定義されます。

双複素数t = (w, z)のノルムN(t)は、N(t) = t*t = (w, -z)(w, z) = (w² + z², 0)で定義され、第一成分が計量を与える二次形式となります。このノルムは乗法性（合成性質）を持ち、N(st) = N(s)N(t)が成り立ちます。この性質は、ブラフマグプタ-フィボナッチの等式として知られています。

双複素数の全体は、複素数体ℂ上の二次元多元環をなし、ℂ⊕ℂと同型です。また、行列


\begin{pmatrix} w & iz \ iz & w \end{pmatrix}


として表現することもでき、この行列式はw² + z²となり、ノルムの乗法性は行列式の乗法性として解釈できます。

テッサリンの定義と性質

テッサリンは、1848年にジェイムズ・コックルによって導入された数体系です。4つの実数w, x, y, zと3つの虚数単位i, j, kを用いて、


t = w + xi + yj + zk (i² = -1, j² = 1, ij = ji = k)


と表されます。コックルは、指数関数の級数展開においてテッサリンを用いて双曲線関数に関連する級数を分離しました。テッサリンは零因子（コックルは「不能元」と呼んだ）の存在も特徴です。現在では、実テッサリンw + yjの部分線形環（単位双曲線を媒介変数表示する）が良く知られています。

双複素数とテッサリンの関係

双複素数とテッサリンは同型な体系です。セグレは1892年に、テッサリンと同型な双複素数を導入しました。彼はハミルトンやクリフォードの研究を参考に、双複素数の体系を構築しました。双複素数を別の基底で表現することで、テッサリンとの同値性が明らかになります。

多項式環の剰余環としての構成

双複素数とテッサリンは、多項式環ℝ[X, Y]の剰余環として構成することもできます。イデアルA = (X² + 1, Y² - 1)を用いると、剰余環ℝ[X, Y]/Aはテッサリン代数を表現します。同様に、イデアルB = (X² + 1, Y² + 1)を用いると、双複素数環が得られます。非可換多項式環を用いた構成も可能です。

双複素係数多項式の根

双複素数の全体を2ℂ = ℂ⊕ℂと表し、各元を複素数の順序対(u, v)として表すと、テッサリン代数Tは2ℂと同型です。そのため、多項式環T[X]と2ℂ[X]も同型となり、多項式方程式はℂ上の二つの多項式方程式に帰着できます。次数nの多項式であれば、n²個の根を持ちます。T[X]との同型性から、次数nのテッサリン係数多項式もn²個の根を持ちます。

歴史的背景

1840年代には、複数の虚数単位を持つ数体系に関する研究が盛んに行われました。ハミルトンは四元数を、カークマンは超複素数系に関するケイリーとの書簡のやり取りを報告しています。コックルによるテッサリンの導入、そしてセグレによる双複素数の導入は、超複素数論の発展に大きく貢献しました。カンザス大学は双複素数上の解析学の発展に大きく寄与しています。

まとめ

双複素数とテッサリンは、複素数を拡張した重要な数体系です。ケーリー・ディクソン構成法や多項式環の剰余環として構成でき、同型な体系であることが示されています。それぞれの体系の性質や歴史的背景、そして多項式方程式の解の個数などを理解することで、より深い数学的理解につながります。

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